Número de conjuntos de $\{x,y\}\subset\{1,2,\dots,100\}$ tal que $|x-y|>10$

Question

He aquí una pregunta que me producían recientemente:

Cuántos pares de $\{x,y\}\subset\{1,2,\dots,100\}$ están allí, que $|x-y|>10$.

Puedo resolver este problema con la adición: asumiendo $x<y$, $89$ posibilidades de $y$ al $x=1$, e $88$ posibilidades de $y$ al $x=2$, y así sucesivamente. Esto conduce a la solución

$$89+88+\dots+1=\frac{90\cdot89}{2}$$

Sin embargo, desde $$\dfrac{90\cdot 89}{2}=\binom{90}{2},$$ se siente como que debe haber algún buen argumento combinatorio, pero he estado fallando a ver. Alguien que me ilumine?

Answer 1

Cada par se puede obtener de una manera única por la elección de dos números de $\{1,2,\ldots,90\}$ y añadiendo $10$ a la más grande.

Answer 2

La línea de 100 puntos en una fila, por lo que cualquier elección de dos puntos con al menos 10 puntos entre ellos

nos dará un par. $\;\;$Deje $d_1, d_2, d_3$ ser el número de puntos en los 3 huecos creados,

por lo $d_1+d_2+d_3=98$ $d_2\ge10.\;\;$ Si dejamos $e_1=d_1, e_3=d_3,$$e_2=d_2-10$,

obtenemos la ecuación $e_1+e_2+e_3=88,\;\;$ y esto ha $\dbinom{90}{2}$ soluciones en números enteros no negativos.