La Combinación De Colores

Question

Tres de un galón de cubos de color rojo, azul, amarillo y pintura son cada dos tercios de su capacidad. Sin la capacidad de medir, es posible mezclar por igual a todos los de la pintura a través de una secuencia finita de derrama de un cubo a otro?

Si existe una solución, entonces las etapas intermedias todas constan de un depósito lleno de las dos terceras partes del depósito lleno, y de un tercio del depósito lleno. También, todos los vaciados, excepto para el primer vaciado tal vez el final de vertido, debe ser de un depósito lleno. Esto es debido a una cubeta vacía nunca es útil.

Bajo estas restricciones, sólo hay dos opciones para cualquier intermedio de vertido, por lo que el problema es bastante restrictivo en la naturaleza, pero estoy teniendo un tiempo difícil mantener un seguimiento de todas las proporciones.

Edit: Considerando Ross en la observación de abajo, parece que si existe una solución, el estado final constará de dos baldes llenos y una cubeta vacía.

Answer 1

No es posible. Suponer que se fueron. A continuación, justo antes del último vertido, que tendría dos baldes con igualdad de mezclas y uno, con una desigual de la mezcla. Esto viola el hecho de que el total de las cantidades de cada uno de los tres colores son iguales. También, saliendo de un cubo que tiene una mezcla igual en uno que tiene una desigual mezcla nunca puede arreglar la recepción de la cubeta.

Incluso con el final de movimiento permitido para unir dos parciales cubos, no es posible. Nos centraremos en las competencias de $3$ en los denominadores de la cantidad de la primera de color vertido, decir rojo. La primera inyección se mueve $\frac 13$ galón de rojo a otro cubo. A continuación, cada una de las siguientes verter (excepto el último) debe ser hecha desde el cubo que recibió el anterior verter. Se mueve bien $\frac 13$ o $\frac 23$ de la red, que es en el donante en la cubeta para el receptor de la cubeta. El $n^{\text{th}}$ pour le mueve una cantidad que tiene un denominador de $3^n$. Esto significa que después de $n$ derrama, el donante y el receptor cubos tendrá una cantidad de rojo que tiene un denominador de $3^n$ y el tercer cubo tendrán una cantidad con menor denominador. El mayor de los denominadores seguir creciendo. Pero el movimiento antes de que el último debe dejarnos con una amplia cubeta que contiene $\frac 13$ galón de rojo, que nunca podremos alcanzar.

Answer 2

Descargo de responsabilidad: acabo de darme cuenta de que se mueven $3$ requiere una medición, lo cual no está permitido. Así que esta respuesta no responder la pregunta por completo. Voy a dejarlo aquí, ya que puede incitar a otras ideas.

Voy a asumir que después de cada vaciado, los colores son lo suficientemente mezclado hasta que se vierte en proporciones iguales.

Cada valor indica el volumen de color en una cubeta, no el porcentaje.

Configuración Inicial: $$ \begin{array}{cccc} &R&Y&B\\ \text{Bucket 1}&2/3&0&0\\ \text{Bucket 2}&0&2/3&0\\ \text{Bucket 3}&0&0&2/3 \end{array} $$

Mueve $1$ $2$ : vierta la mitad de cualquier cubo en cada uno de los otros dos cubos (aquí he de elegir balde $3$): $$ \begin{array}{cccc} &R&Y&B\\ \text{Bucket 1}&2/3&0&1/3\\ \text{Bucket 2}&0&2/3&1/3\\ \text{Bucket 3}&0&0&0 \end{array} $$

Mueve $3$ $4$ : vierta la mitad de cada uno de los otros dos cubos (en este caso $1$$2$) en la cubeta vacía (aquí $3$): $$ \begin{array}{cccc} &R&Y&B\\ \text{Bucket 1}&1/3&0&1/6\\ \text{Bucket 2}&0&1/3&1/6\\ \text{Bucket 3}&1/3&1/3&1/3 \end{array} $$

Mueve $5$ $6$ : vierta los dos medio vacía los cubos en cada uno de los otros para hacer un depósito lleno (en este caso $2$ a $1$): Inicial: $$ \begin{array}{cccc} &R&Y&B\\ \text{Bucket 1}&1/3&1/3&1/3\\ \text{Bucket 2}&0&0&0\\ \text{Bucket 3}&1/3&1/3&1/3 \end{array} $$

Conclusión: Después de $6$ se mueve, usted puede tener dos cubos igualmente mezclado con una cubeta vacía. Para obtener cada una con $2/3$ de la pintura, vierta $1/3$ de cada uno de los mezclan por igual los cubos en la cubeta vacía, lo $8$ se mueve en total.

Answer 3

Absolutamente posible. Sólo mantener a raudales. Después de un número suficiente de vertidos (digamos infinito) composición/tez de pintura en cada uno de ellos sería el mismo.

P. S. Recuerda, nadie le preguntó en la pregunta de cuántos vierte son necesarios.