¿Por qué un cable tenso nunca estará completamente recto?

Question

Publiqué esta foto de alguien en una tirolesa en Facebook.

Uno de mis amigos lo vio y preguntó esta pregunta para intentar calcular la velocidad a la que iría alguien en la tirolina cuando cayera al agua.

La única respuesta, que fue aceptada, incluye el descargo de responsabilidad, " Suponiendo que la polea que se utiliza para deslizar sea sin fricción.Aunque no es posible.También se supone que la cuerda es inextensible y recta. "

De pequeño tenía una tirolina de más o menos la misma longitud en el jardín de mi casa, y ya de joven me di cuenta de que nunca podíamos enderezar la línea por completo, incluso cuando estaba floja, no podíamos hacerla completamente recta. Y, naturalmente, una vez que se añadía peso, había una curva en la que el peso tiraba de la línea hacia abajo.

Uno de los comentarios del miembro que proporciona la respuesta es " Bueno, puedo mostrarte por qué la cuerda no puede ser nunca recta. " Lo sé por experiencia. Nunca pudimos hacerla completamente recta sin que se hundiera. Pregunté la razón de esto y me dirigieron a un libro en Amazon. Como acabo de gastar 50 dólares en varios libros para la lectura de verano, mi presupuesto para libros se ha acabado por un tiempo.

¿Puede alguien responder a eso? ¿Por qué la línea nunca estará recta cuando está configurada (y cuando no hay carga en ella)?

Answer 1

Esto es un problema de estática.

Supongamos que el cable está estático, perfectamente recto y horizontal.

Elige cualquier punto del cable y la suma de las fuerzas en ese punto debe ser igual a cero.

Hay una fuerza, debida a la gravedad, "hacia abajo".

Por lo tanto, debe haber una fuerza igual y opuesta "hacia arriba". Esta fuerza hacia arriba debe provenir de la tensión del cable.

Pero, si el cable es recto y horizontal, no hay ningún componente "hacia arriba" en la tensión, sólo componentes "hacia los lados" . Así que hay una fuerza neta a la baja en este punto.

¡Pero eso es una contradicción! Por lo tanto, el cable, si es estático, no puede ser recto.

Answer 2

Imagina una cuerda pesada levantada del suelo entre dos bloques. En lugar de considerar todos los trozos de masa de la cuerda, y las fuerzas sobre ellos, podemos simplificar un poco el problema considerando uno ligeramente diferente.

La cuerda puede representarse con una bola pesada (en el centro de la cuerda) conectada por dos cuerdas sin masa a los bloques. Por experiencia, sabemos que esta combinación masa/cuerda forma un triángulo con dos lados de la misma longitud y otro lado. Cada uno de los lados inclinados forma algún ángulo con respecto al suelo.

Cuando se tira más fuerte de las cuerdas (en la imagen del equilibrista de abajo, por ejemplo) la bola (o el equilibrista) sube un poco. El ángulo entre los lados angulados y el suelo se reduce. Pero cuanto más se tensan las cuerdas y más sube la bola, más se tensa la cuerda (que siempre apunta a lo largo de una cuerda) va a tirar de la pelota hacia los lados.

Así que considera esto. Si la pelota estuviera colgada en su punto más alto, es decir, con las cuerdas formando una línea recta en lugar de un triángulo, entonces la fuerza de tensión de la cuerda estaría tirando totalmente en horizontal de la pelota. Pero esto no anula la fuerza de la gravedad, que tira de la pelota hacia abajo, independientemente de la tensión de la cuerda. Así que la pelota se hundirá un poco.

Por lo tanto, nunca puede haber una configuración en la que una bola cuelgue de una cuerda recta. La cuerda debe tener un pliegue. Esta es la misma razón por la que si tienes una cuerda "recta" y un equilibrista camina sobre ella, la cuerda debe combarse un poco. Véase el siguiente diagrama. En un problema estático, todas las componentes de las flechas (izquierda-derecha, arriba-abajo) tienen que sumar cero. Observa cómo las flechas de tensión apuntan un poco hacia arriba.

En el caso de una cuerda pesada (una cuerda con masa pero sin balón) el colgado no forma un pliegue, sino una curva ligeramente inclinada. El principio es el mismo.

Answer 3

Es bastante sencillo: las fuerzas en los puntos de anclaje serían infinitas debido a la 90° ángulo ;-)

Un ejemplo:

Imagina dos pilares con la misma altura. Si fijas una cuerda en ambos y tratas de tensarla, aumentarás poco a poco la fuerza de tracción en la parte superior de los pilares al tiempo que aumentas el ángulo entre la cuerda y el pilar.

Para enderezar completamente la cuerda, es necesario alcanzar los 90º, lo que no es posible, ya que la fuerza debe ser infinita ( tan(90°) ) debido a la gravedad. De hecho, o los pilares o la cuerda se romperán

Ahora imagina que una cuerda está hecha de pequeñas partículas (lo cual es bastante cierto ;-) y aplica la misma lógica a estos subsistemas de la cuerda.

En el caso del chico de la tirolina, aparentemente no hay un ángulo cercano a los 90º, pero de hecho cada pieza de los pequeños sistemas de "cuerda/pilar" está sufriendo bajo esta problemática de tensión. Sin la gravedad, no hay problema para enderezar una cuerda así

Espero poder describirlo con claridad, ¡quizá una imagen ayude!

Answer 4

Un cable nunca será recta, porque se estira debido al peso (propio o de los pasajeros).

Así que, en resumen, la razón es que sus propiedades elásticas.

Si esto no te convence, creo que de una barra pesada. Es recta, o tan recta como queremos. ¿Por qué es eso? Pero, por supuesto, es porque es mucho más rígida y menos elástica. Si el zip de la línea era muy rígido, como una varilla cilíndrica, la curvatura sería prácticamente ausentes en comparación a una cadena o una cuerda.

^{Tres diferentes catenarias a través de los mismos dos puntos, dependiendo de la fuerza horizontal $T_H$ $a=\lambda H / T_H$ y $l$ de masa por unidad de longitud.}

Más en profundidad, una postal de la línea de la forma va a ser aproximada por una catenaria con la siguiente fórmula:

$$ $ y=\frac{T_0}{\lambda g}\cosh{(\frac{\lambda g}{T_0}x)}$$

que se rige por la tensión de $T_0$, que es a su vez relacionados con las propiedades elásticas del material (y lo mucho que tire de la línea, por supuesto).

Leer más

Tiempo Independiente y Dependiente del Tiempo de la Catenaria Problema; 11 de agosto de 2010; Subhrajit Bhattacharya

Answer 5

Vamos a cuantificar rápidamente Skliv's y Alfred's respuestas.

La forma más clara de hacerlo es considerar la parte del cable limitada en su punto más bajo por un lado y un punto general por el otro con el $x$ eje en el plano de la curva y apuntando a la horizontal:

El supuesto crucial aquí, expresado de diversas maneras en las otras respuestas, es que la cuerda es totalmente flexible, es decir no puede soportar el cizallamiento, es decir la fuerza de tensión debe ser tangente a la cuerda en todos los puntos. Tomamos como constante de la curva la tensión en el punto más bajo: seguro que aún no la conocemos, pero sigue siendo una constante del sistema.

Si la ecuación de la curva $y = y(x)$ define su altura en posición horizontal $s$ entonces el equilibrio de la curva está definido por (aquí $\sigma$ es su densidad lineal y $s(x)$ la arclitud de la curva en función de $x$ ):

$$T_0 = T(x) \cos\theta $$ $$\sigma\,s(x)\,g\, = T(x) \sin\theta$$

es decir

$${\rm d}_x y = \frac{\sigma\,g}{T_0} \,s(x)\quad\Rightarrow\qquad {\rm d}_x^2 y = \frac{\sigma\,g}{T_0} \sqrt{1 + (\mathrm{d}_x\,y)^2}$$

mediante el elemento estándar arclength $\mathrm{d}_x\,s = \sqrt{1 + (\mathrm{d}_x\,y)^2}$ . Si se resuelve esta ecuación, se obtiene la fórmula de Skliv de forma inmediata, con lo que se pueden aplicar las condiciones de contorno y entender así que para todo finito $T(x)$ hay una caída de la cuerda.

Incluso si la cuerda fuera una viga rígida que pudiera soportar un cizallamiento distinto de cero, llegaríamos a la misma conclusión. Las dos teorías analíticas (aparte del análisis numérico completo de elementos finitos) que hay que utilizar aquí son Teoría de las vigas de Euler-Bernoulli y, más exactamente, Teoría del rayo de Timoshenko .