Cuantización de una partícula en una superficie esférica

Question

Supongamos que tenemos una partícula de masa $m$ se limita a la superficie de una esfera de radio $R$. El clásico de Lagrange del sistema es

$$L = \frac{1}{2}mR^2 \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}m R^2 \sin^2 \theta \dot{\phi}^2 $$

La canónica momenta son $$P_\theta = \frac{\partial L }{\partial \dot{\theta }} = m R^2 \dot{\theta }$$ and $$P_\phi = \frac{\partial L }{\partial \dot{\phi }} = m R^2 \sin^2 \theta \dot{\phi }$$

El Hamiltoniano es

$$H = \frac{P_\theta^2}{2 m R^2} + \frac{P_\phi^2}{2 m R^2 \sin^2\theta }$$

Ahora empiezan a cuantizar el sistema. Reemplazamos $P_\theta $$P_\phi $$-i\hbar \frac{\partial}{\partial \theta}$$-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi} $, respectiely, para obtener

$$H = -\frac{ \hbar^2 \partial^2}{2 m R^2 \partial \theta^2} - \frac{\hbar^2 \partial^2 }{2 m R^2 \sin^2\theta \partial \phi^2 } $$

Al parecer, esto es incorrecto, debería ser el momento angular total!

Entonces, ¿cuál es el procedimiento adecuado para cuantizar un sistema, especialmente en un sistema de coordenadas curvilíneas?

Answer 1

En pocas palabras, el problema con el OP de la elección de los operadores de $\hat{p}_j$ $\hat{H}$ es que son no selfadjoint wrt. a la pertinente medida $\mu$. En otras palabras, la costumbre de integración por parte de método para probar selfadjointness no funciona.

Aquí hay algunos detalles más. Vamos a poner las constantes $m=1=R$ por la simplicidad. Entonces el Lagrangiano de lee

$$\tag{1} L~=~\frac{1}{2}g_{ij}~\dot{x}^i\dot{x}^j,$$

con $x^1\equiv\theta$, $x^2\equiv\phi$, y

$$\tag{2} g_{ij}~=~ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &\sin^2\theta \end{pmatrix}. $$

Clásicamente, el Lagrangiano momenta son

$$\tag{3} p_i ~=~g_{ij}~\dot{x}^j,$$

y el Hamiltoniano es

$$\tag{4} H~=~\frac{1}{2} g^{ij} ~p_i p_j. $$

La forma de volumen en el espacio de configuración es

$$\etiqueta{5} \mu ~=~ \sqrt{g}~ \mathrm{d}x^1 \wedge \mathrm{d}x^2 ~=~ \sin{\theta} ~\mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d}\phi. $$

El espacio de Hilbert es $L^2(S^2,\mu)$. ¿Cuál es la representación de Schrödinger el impulso de los operadores? Bien, ahora nos encontramos con el operador de pedido ambigüedades. El impulso de los operadores deberían, como mínimo, satisfacer (i) el CCR, y (ii) ser selfadjoint wrt. a la medida (5). Una idea para asegurarse de esto es el uso de

$$\tag{6} \hat{p}_j~=~ \frac{\hbar}{i\sqrt[4]{g}} \frac{\partial}{\partial x^j} \sqrt[4]{g}. $$

Del mismo modo, se puede elegir un selfadjoint operador Hamiltoniano a ser la de Laplace-Beltrami operador:

$$\etiqueta{7} \hat{H}~=~-\frac{\manejadores^2}{2}\Delta ~=~ -\frac{\manejadores^2}{2\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x^i}\sqrt{g}~ g^{ij} \frac{\partial}{\partial x^j}~=~ \frac{1}{2\sqrt[4]{g}} \hat{p}_i\sqrt{g}~ g^{ij} ~\hat{p}_j\frac{1}{\sqrt[4]{g}} . $$

En el caso de las dos esferas $S^2$, este operador Hamiltoniano conduce a la plaza del momento angular $\hat{\bf L}^2$. Clásicamente, los operadores (6) y (7) reducir a las funciones (3) y (4), respectivamente.

Referencias:

1. Bryce DeWitt, Supermanifolds, Cambridge Univ. Press, 1992; La Sección 6.7.

Answer 2

La sabiduría convencional (como se dice en los libros de texto de Shankar, o Griffiths, por ejemplo) dice que para evitar la cuantización de los operadores en coordenadas curvilíneas, siempre que sea posible. Mejor para cuantizar el concepto cartesiano de los operadores de $p_x, p_y, p_z$ y, a continuación, cambiar a coordenadas curvilíneas en la teoría cuántica. Se refieren a esta discusión por el Profesor Robert Jaffe en el MIT:[1]

La cuantización canónica método se vuelve complicado y sutil cuando uno trata de aplicar a los sistemas de coordenadas que incluyen singular puntos. Un ejemplo conocido es esféricas en coordenadas polares $(r,\theta,\phi)$. El origen, $r=0$, es un punto singular para esféricas en coordenadas polares---por ejemplo, $\theta$ $\phi$ no se define a la $r=0$. Si usted sigue el formalismo canónico a través de Lagrange canónica momenta $(p_r,p_{\theta},p_{\phi})$ a Hamilton, para canónica de los conmutadores, una serie de dificultades que surgen. Aunque es posible ordenarlos por insistir en que todo el canónica momenta ser Hermitian los operadores, es mucho más fácil cuantizar el sistema de coordenadas Cartesianas y hacer el cambio esféricas en coordenadas polares en el nivel cuántico. Este es el camino tomada en el más elemental de los tratamientos de la mecánica cuántica en tres dimensiones: el operador $p^2 = p_1^2 + p_2^2 +p_3^2$ es reconocido como el Laplaciano en coordenadas representación $(p_j \i\manejadores > \partial/\partial x_j \implica p^2 \a \nabla^2)$ y el la transformación a coordenadas polares se hace por escrito el Laplaciano y la función de onda en términos de $r$, $\theta$, y $\phi$. Como una regla del pulgar, el enfoque canónico se hace engorroso cuando el clásico coordina y/o momenta no alcance sobre todo el intervalo de $-\infty$ $+\infty$.

[1] R. L. Jaffe, "Cuantización Canónica y la Aplicación de la la Mecánica Cuántica de un cargo Partícula en un Campo Magnético", Complementaria Notas para el MIT Cuántica La Teoría De La Secuencia, Febrero De 2007