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Es la traza de la matriz inversa convexo?

Hola me gustaría saber si la traza de la matriz inversa de una simétrica positiva definida la matriz de $\mathrm{trace}(S^{-1})$ es convexa.

En realidad sé que la traza de una simétrica positiva definida la matriz de $S\in M_{m,m}$ es convexa ya que podemos encontrar $B\in M_{n,m}$ tal que $S=B^T\times B$, entonces podemos escribir la traza como la suma de escalares cuadráticas formas, es decir, $\mathrm{trace}(S)=\mathrm{trace}(B^T\times B)=\sum_{j=1}^mb_j^T\times b_j$ donde $b_j$ $j^{th}$ columna de $B$.

por ejemplo, si tenemos $trace([\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}] \times [\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{array}])= [\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array}]\times [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array}]+ [\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ \end{array}]\times [\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ \end{array}]=30$

Y lo que me pregunto si $\mathrm{trace}(S^{-1})$ es convexa demasiado..

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Matthew Scouten Puntos 2518

Sí, lo es. Considere la posibilidad de $S(t) = A + t B$ donde $A$ es simétrica positiva definida y $B$ es simétrica. Es suficiente para demostrar que $$\left.\dfrac{d^2}{d t^2} \text{Tr}(S(t)^{-1})\right|_{t=0} \ge 0$$ Ahora $$ S(t)^{-1} = (A (I + t A^{-1} B))^{-1} = A^{-1} - t A^{-1} B A^{-1} + t^2 A^{-1} B A^{-1} B A^{-1} + \ldots$$ por lo $$ \left. \dfrac{d^2}{\partial t^2} \text{Tr}(S(t)^{-1}) \right|_{t=0} = 2 \text{Tr}(A^{-1} B A^{-1} B A^{-1})$$ Pero $A^{-1} B A^{-1} B A^{-1} = C A^{-1} C^T$ donde $C = A^{-1} B$ $A^{-1}$ es positiva definida, por lo $C A^{-1} C^T$ es positivo semidefinite, y por lo tanto $\text{Tr}(CA^{-1} C^T) \ge 0$.

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