¿Qué son los topoi?

Question

He estado escuchando mucho sobre el concepto de "topos". Le pregunté a un amigo mío en el saber y él dijo que topoi son una generalización de las poleas en un espacio topológico. En particular, los topoi fueron especialmente útil cuando una topología real no estaba disponible. Cualquiera puede elaborar sobre esto o hacer que esta idea más clara?

Answer 1

Topoi puede ser visto desde muchos puntos de vista.

• Topoi puede ser visto como categorías de poleas (generalizada) de los espacios. De hecho, el primer ejemplo de un (Grothendieck) topos es la categoría de $\mathrm{Sh}(X)$ del conjunto de valores de las poleas en un espacio topológico $X$. En lugar de espacios, también los sitios de trabajo.

• Topoi puede ser visto como generalizada de los espacios. Por ejemplo, tenemos un functor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de topoi, a saber, el functor $X \mapsto \mathrm{Sh}(X)$. Este functor es totalmente fiel si nos restringimos a la sobrio espacios topológicos. (Replicó es un muy débil separación axioma. Cada espacio de Hausdorff es sobrio y así es todo el esquema de la geometría algebraica.)

  Muchos de los conceptos geométricos generalizar a topoi, por ejemplo, hay un punto de un topos, abierta y cerrada subtopos, conectado topos, mapa continuo entre los topoi, los revestimientos de topoi, ...

• Topoi puede ser visto como una alternativa matemática universos. El especial de "topos"$\mathrm{Set}$, la categoría de conjuntos y mapas, es habitual el universo. Cualquier topos admite un "lenguaje interno", el cual puede ser utilizado para trabajar en el interior de un topos como si se componía de llanura de conjuntos. Cualquier teorema en el que se admite una intuitionistic prueba (una prueba usando la ley de medio excluido o axioma de elección) es válida en cualquier lugar.

  Por ejemplo, la declaración "Para cualquier corto de la secuencia exacta $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ de los módulos, el módulo de $M$ es finitely generado si $M'$ $M''$" es un teorema y por lo tanto también se cumple en el topos de poleas en un espacio anillado. De esta manera automáticamente los rendimientos de la declaración "Para cualquier corto de la secuencia exacta $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F''} \to 0$ de las poleas de $\mathcal{O}_X$-módulos, la gavilla $\mathcal{F}$ es finito tipo si $\mathcal{F}'$$\mathcal{F}''$".

  En el lenguaje interno de algunos de los topoi, exóticos declaraciones tales como "cualquier mapa de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es suave" o "existe un número real $\varepsilon$ tal que $\varepsilon^2 = 0$ pero $\varepsilon \neq 0$" hold. Esto es útil para el sintético de la geometría diferencial.

• Topoi puede ser visto como la encarnación de la lógica de las teorías: Para cualquier (los llamados "geométrico") la teoría de la $\mathbb{T}$ hay una clasificación de los "topos" $\mathrm{Set}[\mathbb{T}]$ cuyos puntos son precisamente los modelos de $\mathbb{T}$ en la categoría de conjuntos, y por el contrario, cualquier (Grothendieck) topos es la clasificación de los "topos" de la teoría. La clasificación de los topoi de dos teorías son equivalentes si y sólo si las teorías son Morita-equivalente.

Esto lo aprendí de la nLab entrada en topoi. Los principales ejemplos de topoi son:

• La categoría de $\mathrm{Set}$ de los conjuntos y los mapas.

• La categoría de $\mathrm{Sh}(X)$ del conjunto de valores de las poleas en cualquier sitio. Grothendieck concebido topoi porque de este ejemplo – que él necesitaba para etalé cohomology. El "etalé topología" en un esquema no es honesta topología, pero un Grothendieck del sitio.

• La efectiva topos asociados a cualquier modelo de cálculo. En el lenguaje interno de un topos, la declaración "para cualquier número natural $n$, no es un número primo $p > n$" tiene si y sólo hay un programa en el modelo de cálculo que calcula, dado cualquier número $n$, un número primo $p > n$. La declaración "cualquier mapa de $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ lo que es dado por una máquina de Turing" es cierto que en muchos de los topoi.

Topoi pueden utilizar, por ejemplo

• en la geometría algebraica a trabajar con la generalizada topologías como el etalé topología,

• en la lógica para la construcción de modelos interesantes de teorías,

• en ciencias de la computación para comparar los modelos de la computación,

• como herramientas para construir puentes entre las diferentes asignaturas de matemáticas.

Muy fino recursos para el aprendizaje acerca de los topoi son:

• Tom Leinster la introducción informal a topos de la teoría. Comienza aquí!

• El libro de texto de Poleas en la Geometría y la Lógica por Saunders Mac Lane y Ieke Moerdijk.

• La referencia Bocetos de un Elefante: Un Topos de la Teoría Compendio de Peter Johnstone.

Si usted está en un apuro, a continuación, disfrutar de Luc Illusie de la dos-página nota en la AMS de la serie "¿Qué es ...?".