Su ecuación integral (es decir, para abreviar) es del tipo:
$$\tag{1} (I-\lambda T) f =0$$
con $I$ la identidad del operador y $T$ da por:
$$Tf(x):= \int_0^1 \big( \max \{x,t\}+xt\big)\ f(t)\ \text{d} t\; ,$$
que es una acotado, compacto lineal operador en $C^0([0,1])$.
La alternativa de Fredholm se aplica a su IE, por lo tanto, hay dos posibilidades: o Una) (1) tiene sólo la solución trivial $f(t):=0$, o B) existe un espacio lineal de soluciones no triviales. En el caso de que Una de ellas dice que la $\lambda$ es un valor regular de $T$; por otro lado, en el caso de B, se dice que $\lambda$ es un valor singular para $T$.
También es conocido que los valores propios de un operador compacto de una secuencia, decir $\{\lambda_n\}_{n\in \mathbb{N}_0}$, de tal manera que $|\lambda_n|\to \infty$ y $\{\lambda_n\}$ no tiene finita acumulación punto.
Sus cálculos muestran que cualquier $C^0$ solución de (1) en realidad es de la clase de $C^2$, y resuelve el segundo orden lineal ODE $f^{\prime \prime} -\lambda f=0$; por otra parte, no es difícil ver que cualquier solución de su IE satisface también el Robin condiciones de contorno $f(0)-f^\prime (0)=0$, $f(1)-f^\prime (1)=0$ (para demostrar esto, basta con conectar $x=0,1$ en el IEs para$f$$f^\prime$); por lo tanto, cada solución de (1) es también una solución de la BVP:
$$\tag{2} \begin{cases} f^{\prime \prime} (t)-\lambda f(t)=0 &\text{, in } ]0,1[ \\ f(0)-f^\prime (0)=0 \\ f(1)-f^\prime (1)=0 \end{cases}$$
que es un autovalor problema para el operador diferencial $\tfrac{\text{d}^2}{\text{d} t^2}$ bajo las condiciones de contorno.
Por otro lado, creo que se puede demostrar que el autovalor problema (2) es equivalente a (1), en el sentido de que la $C^2$ solución de (2) es también una solución de (1) (para probar esto, apuesto a que algunos de integración por partes y otras primaria trucos tienen que ser utilizados).
Por lo tanto, si usted tiene que resolver (1), entonces usted tiene que mirar para los autovalores de (2).
Para encontrar los valores propios de (2) uno tiene que distinguir tres casos:
$\lambda >0$: en este caso uno puede plug $\lambda =\omega^2$ $\omega >0$ en la educación a distancia para obtener el general integral:
$$f(t):=A e^{\omega t} +B e^{-\omega t}\; ;$$
entonces, o (2) tiene sólo la solución trivial, o $\lambda =\omega^2$ es un autovalor de (2): la última eventualidad se produce si el sistema lineal homogéneo:
$$\begin{cases} f(0)-f^\prime (0)=0 \\ f(1)-f^\prime (1)=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (1-\omega) A+(1+\omega) B=0 \\ (1-\omega )e^\omega A+(1-\omega)e^{-\omega} B=0 \end{cases}$$
posee soluciones no triviales, es decir, iff $\omega =1$$\lambda =1=:\lambda_0$.
Si $\lambda=\lambda_0$, todas las funciones propias correspondientes a $\lambda_0$, es decir, el trivial de las soluciones de (2), son de la forma:
$$f_0(t):=Ae^t\; .$$
$\lambda =0$: en este caso el general integral de la educación a distancia es $f(t):=A+Bt$ y es fácil ver que no hay ninguna que no sea trivial soluciones de (2).
$\lambda <0$: se puede ajustar el $\lambda =-\omega^2$ ( $\omega >0$ ) en la educación a distancia para obtener el general integral:
$$f(t):= A\cos \omega t+B\sin \omega t\; ;$$
entonces, o (2) tiene sólo la solución trivial, o $\lambda =-\omega^2$ es un autovalor de (2): el último caso se produce si el sistema lineal homogéneo:
$$\begin{cases} A-\omega B =0 \\ (\cos \omega +\omega \sin \omega) A + (\sin \omega -\omega \cos \omega)B=0\end{cases}$$
tiene algunas soluciones no triviales, es decir, iff $\omega =n\pi$$\lambda =-n^2\pi^2=:\lambda_n$$n\in \mathbb{N}$.
Si $\lambda=\lambda_n$, todas las funciones propias correspondientes a $\lambda_n$ son de la forma:
$$f_n(t):=n\pi B \cos \omega t + B \sin \omega t\; .$$
Finalmente, resumiendo, tenemos el siguiente resultado:
La ecuación integral
$$\tag{1} f(x) = \lambda \int_0^1\big(\max \{x,t\} +xt\big)f(t)\ \text{d} t$$
sólo tiene la solución trivial $f(x):=0$ fib $\lambda \notin \{ \lambda_n\}_{n\in \mathbb{N}_0}=\{1,-\pi^2, -4\pi^2,\ldots ,-n^2\pi^2,\ldots \}$; también tiene soluciones no triviales en el formulario:
$$f_0 (x) := Ae^x \qquad \text{(} A\text{ an arbitrary constant)}$$
iff $\lambda =\lambda_0 =1$; también tiene soluciones no triviales en el formulario:
$$f_n(x) =n\pi B \cos (n\pi x)+ B \sin (n\pi x) \qquad \text{(} B\text{ an arbitrary constant)}$$
iff $\lambda =\lambda_n =-n^2\pi^2$ algunos $n\in \mathbb{N}$.
