La prueba de la convergencia de una serie

Question

Para probar la convergencia de una serie:

$$ \sum\left[\sqrt[3]{n^3+1}-n\right] $$

Mi intento:

Saque $n$ en común: $\displaystyle\sum\left[n\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}-1\right)\right]$.

Por lo que este debe ser divergentes.

Pero, la respuesta dice que es convergente.

Answer 1

$$\sqrt[3]{n^3+1}-n=\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+1}^2+n\sqrt[3]{n^3+1}+n^2}\le\frac{1}{3n^2}$$

Answer 2

Tenemos que $$\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}} \sim_\infty 1+\frac{1}{3n^3}$$ por series de Taylor.

Por lo $$n\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}-1\right)\sim_\infty\frac{1}{3n^2}.$$

¿Por qué la serie es convergente ahora? :)

Answer 3

$$ \sqrt[3]{n^3+1}-n = \left({\sqrt[3]{n^3+1}-n)}\right) \frac{ \left({ (n^3 + 1)^{\frac 2 3} + (n^3 + 1)^{\frac 1 3}n + n^{2 } }\right)}{\left({ (n^3 + 1)^{\frac 2 3} + (n^3 + 1)^{\frac 1 3}n + n^{2 } }\right)} = \frac {1}{\left({ (n^3 + 1)^{\frac 2 3} + (n^3 + 1)^{\frac 1 3}n + n^{2 } }\right)} \le \frac{1}{(n^3 + 1)^{\frac 2 3} } \le \frac{1}{(n^3)^{\frac 2 3}} = \frac 1 {n^2}$$

Y sabemos que $\sum \frac {1}{n^2}$ converge y por la Prueba de Comparación de nuestra serie converge.

---

Y una serie no difieren sólo porque $n$ es un factor. ¿Qué acerca de la $$ \sum n \cdot \frac{1}{n!} \;\;\; ?? $$

Answer 4

Esto es muy similar a la de otras respuestas, pero ligeramente diferente de la derivación de la estimación: $$n^3+1 \le n^3+3 +\frac3{n^3}+\frac1{n^6}=\left(n+\frac1{n^2}\right)^3$$ $$\sqrt[3]{n^3+1} \le n+\frac1{n^2}$$ $$\sqrt[3]{n^3+1} -n \le \frac1{n^2}$$

Ahora podemos usar la prueba de comparación.

Si usted prefiere tener una estimación más ajustada, puede utilizar $\left(n+\frac1{3n^2}\right)^3$ lugar.