Podemos (y de hecho debe ser capaz de si se puede hacer en todos) romper el problema de un conjunto simultáneo de la derecha y la izquierda coset representantes de $H$ según $(H,H)$-el doble de cosets. Para un determinado $(H,H)$-el doble de coset $HxH,$ buscamos un solo conjunto de indexación $I$ y colecciones de elementos de $H$
$\{ s_{i}: i\in I \}$ $\{t_{i}:i \in I \}$ tal que $HxH = \cup_{i \in I} Hs_{i}xt_{i}H,$
y la unión es distinto, y para que los elementos de $ \{s_{i}xt_{i}: i \in I\}$ están todos en diferentes derecha cosets de $H$ y en diferentes izquierdo cosets de $H.$
Ahora $(s_{i}xt_{i})(t_{j}^{-1}x^{-1}s_{j}^{-1}) \in H$ si y sólo si
$t_{i}t_{j}^{-1} \in H \cap x^{-1}Hx$. Por tanto, debemos exigir que los elementos $t_{i} :i \in I$
se encuentran en diferentes derecha cosets de $H \cap x^{-1}Hx$$ H$. Del mismo modo, se requiere que los elementos $ s_{i} : i \in I $ se encuentran en diferentes izquierdo cosets de $H \cap H \cap xHx^{-1}$
en $H$. De hecho, esto nos dice cuando podemos resolver el problema. El doble coset $HxH$ es una unión de una colección de derecho cosets de $H$$G,$, y la unión de la izquierda cosets de $H$$G$. Si hay un bijection entre el conjunto de la derecha cosets de $H$ $HxH$ y el conjunto de la izquierda cosets de $H$$HxH,$, a continuación, nos puede llevar a ser una indexación conjunto común de la cardinalidad de estos dos conjuntos. Entonces podemos tomar $\{ s_{i}: i \in I\}$ a ser un conjunto completo de representantes de la izquierda cosets de $H \cap H \cap xHx^{-1}$
en $H$ $\{ t_{i}: i \in I\}$ a ser un conjunto completo de representantes de la derecha cosets de $H \cap H \cap x^{-1}Hx$
en $H.$ $HxH = \cup_{i \in I} Hxt_{i} = \cup_{i \in I} s_{i}xH$ (discontinuo) y de los elementos $\{ s_{i}xt_{i} : i \in I \}$ son simultáneamente un conjunto de representantes de la derecha y de la izquierda cosets de $H$ contenida dentro de $HxH.$
Analizar el argumento, podemos encontrar un simultánea a la derecha y a la izquierda tranversal para $H$ $G$ si y sólo si para cada a $x \in G,$ tenemos $[H:H \cap xHx^{-1}] = [H : H \cap x^{-1}Hx]$
(tenga en cuenta que si $Y$ fijo es un subgrupo de un grupo de $X,$ luego de inversión da un bijection entre el conjunto de la derecha cosets de $Y$ $X$ y el conjunto de la izquierda cosets de $Y$$X$, y se denota el común de la cardinalidad de estos conjuntos como $[X:Y]).$ Al $H$ es finito, estos dos índices son siempre iguales, ya que los subgrupos $x^{-1}Hx \cap H$ $xHx^{-1} \cap H$ son conjugadas, por lo tanto, del mismo tamaño,mientras que $H$ sí es finito.
Tenga en cuenta que $[G:H]$ parece jugar ningún papel en esta condición: sin embargo, incluso cuando se $H$ es contable, veo que no hay manera obvia para excluir la posibilidad de que $H \cap xHx^{-1}$ es countably infinito, pero de $[H : H \cap x H x^{-1}]$ es finito, mientras que $[H : H \cap x^{-1}Hx]$ es countably infinito.
Más tarde edit: de Hecho, Derek Holt ha proporcionado en los comentarios un ejemplo para ilustrar que la situación se sugirió anteriormente, ocurre que "en la naturaleza". En vista de esto, puede ser que la mayoría de los generales sencilla condición que garantiza un simultánea a la izquierda y a la derecha, transversal a $H$ $G$ es que para cada una de las $ x \in G \backslash N_{G}(H)$, el subgrupo $H \cap xHx^{-1}$ tiene orden finito. Incluso más tarde edit: Solo para aclarar, el ejemplo proporcionado por Derek se da un caso en el que no hay simultánea a la derecha y a la izquierda transversal.
