Para $x$ siendo irracional, por qué es $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}[\cos(n!\pi x)]^{2m}=0$ ?

Question

Dejemos que $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ . ¿Cuál es el valor de $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \left[ \cos(n!\pi x) \right]^{2m}, \qquad (m,n \in \mathbb{N})$$

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La respuesta dada es $0$ . No entiendo por qué es así.

Answer 1

Dejemos que $e=\sum_{j=0}^{\infty}j!^{-1},$ que es irracional, porque $n!e\not \in \mathbb Z$ para cualquier $n\in \mathbb N.$

Para $n\in \mathbb N$ tenemos $$n!e=A_n+\sum_{j=n+1}^{\infty}n!/j!=A_n+B_n,$$ donde $A_n\in \mathbb N$ y $B_n\in (0,1)$ Por inducción en $n,$ si $n$ es incluso entonces $A_n$ es impar, y si $n$ es impar entonces $A_n$ está en paz.

Así que para un número infinito de $n$ tenemos $\cos (\pi n!e)=\cos \pi B_n$ y para infinitos $n$ tenemos $\cos (\pi n!e)=-\cos \pi B_n.$

Por lo tanto, ya que $\lim_{n\to \infty }B_n=0,$ la secuencia $(\cos n!\pi e)_{n\in \mathbb N}$ tiene un $\lim \sup$ de $+1$ y un $\lim \inf$ de $-1.$ Por lo tanto, $\lim_{n\to \infty}\cos(n!\pi e)$ no existe.

Answer 2

[Esta respuesta ha sido reescrita gracias a la útil crítica del comentario de Alex].

La afirmación es errónea. Hay que tener en cuenta primero la existencia del límite $$ \lim_{n\to\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}, $$ que es un problema muy poco trivial.

Cuando $x=\dfrac{1}{\pi}$ , $ \cos(n!\pi x)=\cos(n!). $ Pero parece que la existencia del límite (que podría ser $1$ ) $$ \lim_{n\to\infty}\cos(n!)\qquad\text{(which could be $ 1 $)}, $$ es un problema abierto (editado debido al comentario de Fimpellizieri) gracias al respuesta de esta pregunta: ¿Existe un límite de cos (n!)? .

[Añadido: Curiosamente, hay una pregunta relacionada en MO: Sobre el comportamiento de $\sin(n!\pi x)$ cuando $x$ es irracional. ]

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Si se pidiera el doble límite relacionado con el Función Dirichlet por otro lado: $$ \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\big[\cos(m!\pi x)\big]^{2n}. $$ podría leer la respuesta aceptada a esta pregunta:

Límite doble de $\cos^{2n}(m! \pi x)$ en los racionales e irracionales .

Fíjate bien (de nuevo, gracias al comentario de Alex) que el orden de tomar el doble límite es diferentes de la de su pregunta: $$ \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\big[\cos(m!\pi x)\big]^{2n}. $$