Distancias que inducen la misma topología pero con diferentes bolas

Question

Estoy buscando dos métricas diferentes $d,d'$ en el mismo espacio subyacente $X$ de tal manera que

1) $d$ y $d'$ inducir la misma topología en $X$ ;

2) existe $x \in X$ de tal manera que las pequeñas bolas para $(X,d)$ y para $(X,d')$ con el centro $x$ no son homeomórficas.

Esta puede ser una pregunta trivial, pero no puedo encontrar un ejemplo fácil.

EDITAR : Estoy mayormente interesado en el caso $X = \mathbb {R}^n$ y $d$ es la métrica euclidiana.

Answer 1

Deje que $$ X= \bigcup_ {n=1}^ \infty\ {(x,y) \in\mathbb {R}^2:x^2+y^2=n^{-2}\}. $$ $X$ es una unión de círculos de radio $1/n$ . Considere las distancias $d_1$ y $d_2$ que provienen de las normas equivalentes $\|(x,y)\|_1=|x|+|y|$ y $\|(x,y)\|_2= \sqrt {x^2+y^2}$ . Las topologías inducidas por $d_1$ y $d_2$ en $X$ son iguales. Las bolas de $d_2$ son una unión de círculos. Las bolas de $d_1$ son la unión de círculos y las piezas de otros círculos.

Answer 2

Creo que esto es un ejemplo. Define $$f(x)= \begin {cases} Ax \sin ( \ln |x|)\ \text { if }\ x \ne0 , \\ \quad\quad\quad0\quad\quad\ \ \text { if }\ x=0, \\ \end {cases}$$

donde $A$ es una constante suficientemente grande. (Si lo he calculado bien, $A=e^{3 \pi /2}$ es lo suficientemente grande.) Desde $f$ es una función continua, su gráfico $$X=\{(x,f(x)):x \in\mathbb R\}$$ es homeomórfico a $ \mathbb R.$ La topología de $X$ es inducido por la métrica estándar en $ \mathbb R^2;$ desde $X$ es homeomórfico a $ \mathbb R,$ hay una métrica divertida $d'$ en $ \mathbb R$ que induce la topología estándar de $ \mathbb R$ y es métricamente isomorfo a $X;$ a saber, $$d'(x_1,x_2)= \sqrt {(x_1-x_2)^2+(f(x_1)-f(x_2))^2}.$$ El punto es que, en $X,$ las bolas $B(0;r)$ son conjuntos desconectados. Para ver esto, considere cualquier radio $r \gt0. $ Defina $n \in\mathbb Z$ para que $$e^{-n \pi } \lt r \le e^{-(n-1) \pi }.$$ Luego $(0,f(0))=(0,0) \in B(0;r)$ y $(e^{-n \pi },f(e^{-n \pi }))=(e^{-n \pi },0) \in B(0;r),$ pero $(e^{-(n+ \frac12 ) \pi },f(e^{-(n+ \frac12 ) \pi }) \notin B(0;r),$ porque $$|f(e^{-(n+ \frac12 ) \pi })|=Ae^{-(n+ \frac12 ) \pi } \ge e^{-(n-1) \pi } \ge r.$$

Answer 3

Dada cualquier función inyectable $f: \mathbb R \to\mathbb R$ puedes definir una métrica $d_f$ por $$d_f(x,y):=|f(x)-f(y)|.$$ Considere la función $f$ cualitativamente en la foto de abajo:

Una posible expresión analítica podría ser $$f(x)=x+ \sum_ {n \in\mathbb Z} 4^{-n} \chi_ {(4^{-n},2 \cdot4 ^{-n})}+ \sum_ {n \in\mathbb Z} 2 \cdot 4^{-n} \chi_ {[2 \cdot 4^{-n},4^{-(n-1)}]}$$ donde lo importante es la alternancia entre los intervalos abiertos y cerrados.

Considere entonces $$d:=d_f \qquad \text {and} \qquad d':=d_{2f}=2d_f.$$ Inducen las mismas topologías porque la colección de todas las bolas es exactamente la misma, ya que $B^d(x,r)=B^{d'}(x,2r)$ .

Sin embargo, si eliges cualquiera $r$ no en $ \overline {f( \mathbb {R})}$ (lo que se puede hacer para valores arbitrariamente pequeños de $r$ ), la bola del centro cero y el radio $r$ para una métrica será un intervalo abierto a la derecha, mientras que para la otra métrica será un intervalo cerrado a la derecha, por lo tanto no son homeomórficas.