El Grupo de Brauer de $\mathbb{Q}_2$

Question

He leído que el Grupo de Brauer de cualquier campo local es $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, y quiero ver esto por $\mathbb{Q}_2$. Estoy confundido porque parece que hay $3$ división de álgebras de dimensión $4$, es decir, $\mathbb{Q}_2(u, v)/(u^2=a, v^2=b, uv=-vu)$ $a, b$ son cualquier par entre $2, 3, 5$. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

He descubierto lo que está mal. Si $a=2, b=3$, y dejamos $x\in\mathbb{Q}_2$ ser una solución a $x^2=17$, que existe por Hensel, a continuación,$\left(\frac{xv+uv}{3}\right)^2=5$, por anticommutativity, y $\frac{xv+uv}{3}$ $u$ anticommute, por lo que los tres álgebras de división son el mismo. Tan sólo hay una división de álgebra como se esperaba.