Me hicieron una prueba de la desigualdad de abajo, y me pregunto si alguien también tiene un trigonométricas prueba de esta desigualdad.Si usted tiene un trigonométricas de demostración, por favor enviar su solución. Este problema apareció en el American Mathematical Monthly magazine en 1965, la desigualdad que se propone en los que se forman por Sir Alexander Oppenheim:
Deje $x,y,z$ números reales positivos y $\Delta ABC$ un triángulo. $\displaystyle [ABC]$ denota el área de un triángulo y $\displaystyle a,b,c$ a los lados del triángulo. La desigualdad siguiente es verdadero: $$a^2x+b^2y+c^2z\geq 4[ABC]\sqrt{xy+xz+yz}$$
Varias de las desigualdades puede ser deducida a través de esta desigualdad, por ejemplo, Weitzenböck la desigualdad, Neuberg-Pedoe la desigualdad, Hadwiger-Finsler la desigualdad, y así sucesivamente. Voy a publicar mi de la solución de abajo a la derecha. $$Proof$$
Deje $\alpha,\beta,\gamma$ el valor de los ángulos opuestos a los lados $a, b, c$, respectivamente. $R$ es el circunradio de $\Delta ABC$. Observar que: $$a^2x+b^2y+c^2z\geq 4[ABC]\sqrt{xy+xz+yz}$$ $$a^2x+b^2y+c^2z\geq \frac{abc}{R}\sqrt{xy+xz+yz}$$ $$\frac{aRx}{bc}+\frac{bRy}{ac}+\frac{cRz}{ab}\geq \sqrt{xy+xz+yz}$$ $$\frac{1}{2}\left(\frac{4aR^2x}{2Rbc}+\frac{4bR^2y}{2Rac}+\frac{4cR^2z}{2Rab}\right)\geq \sqrt{xy+xz+yz}$$ $$x\frac{\sin\alpha }{\sin\beta \sin \gamma}+y\frac{\sin\beta }{\sin\alpha \sin \gamma}+z\frac{\sin\gamma }{\sin\alpha \sin \beta}\geq 2\sqrt{xy+xz+yz}$$
$$x\frac{\sin(\pi-\alpha) }{\sin\beta \sin \gamma}+y\frac{\sin(\pi-\beta )}{\sin\alpha \sin \gamma}+z\frac{\sin(\pi-\gamma )}{\sin\alpha \sin \beta}\geq 2\sqrt{xy+xz+yz}$$
$$x\frac{\sin(\alpha+\beta+\gamma-\alpha) }{\sin\beta \sin \gamma}+y\frac{\sin(\alpha+\beta+\gamma-\beta )}{\sin\alpha \sin \gamma}+z\frac{\sin(\alpha+\beta+\gamma-\gamma )}{\sin\alpha \sin \beta}\geq 2\sqrt{xy+xz+yz}$$
$$x\frac{\sin(\beta+\gamma) }{\sin\beta \sin \gamma}+y\frac{\sin(\alpha+\gamma )}{\sin\alpha \sin \gamma}+z\frac{\sin(\alpha+\beta )}{\sin\alpha \sin \beta}\geq 2\sqrt{xy+xz+yz}$$
$$x\frac{(\sin\beta \cos\gamma+\sin\gamma \cos \beta) }{\sin\beta \sin \gamma}+y\frac{(\sin\alpha \cos\gamma+\sin\gamma \cos \alpha) }{\sin\alpha \sin \gamma}+z\frac{(\sin\alpha \cos\beta+\sin\beta \cos \alpha) }{\sin\alpha \sin \beta}\geq 2\sqrt{xy+xz+yz}$$
\begin{equation} (\cot\beta+\cot\gamma)x+(\cot\alpha+\cot\gamma)y+(\cot\alpha+\cot\beta)z\geq 2\sqrt{xy+xz+yz} \tag{1} \end{equation}
Dado que la desigualdad es homogénea en las variables $x,y,z$, hazlo $\displaystyle xy+xz+yz=1$ y tome la sustitución de $\displaystyle x=\cot\alpha',y=\cot\beta',z=\cot\gamma'$, tenemos que $\displaystyle \alpha',\beta',\gamma'$ son los ángulos de un triángulo, y nuestra desigualdad será el equivalente a la desigualdad a continuación:
\begin{equation} (\cot\beta+\cot\gamma)\cot\alpha'+(\cot\alpha+\cot\gamma)\cot\beta'+(\cot\alpha+\cot\beta)\cot\gamma'\geq 2 \tag{2} \end{equation} Supongamos, sin pérdida de generalidad que (el caso inverso es análogo) :
\begin{equation} \cot\alpha \geq \cot \alpha' \tag{3} \end{equation} \begin{equation} \cot\beta \geq \cot \beta' \tag{4} \end{equation} \begin{equation} \cot\gamma'\geq \cot \gamma \tag{5} \end{equation} Debido a que estas variables son los ángulos de un triángulo, podemos no ha $\cot \alpha \geq \cot \alpha' , \cot\beta \geq \cot \beta', \cot \gamma\geq \cot\gamma'$.De hecho, esto no puede ocurrir, ya que supone, sin pérdida de generalidad que $\displaystyle \alpha'\geq\alpha$ $\displaystyle \beta'\geq\beta$(como la cotangente es decreciente, esto implica que $\displaystyle \cot\alpha \geq \cot \alpha' $$\displaystyle \cot\beta \geq \cot \beta'$), sumando estas dos primeras desigualdades tenemos:
$\\ \\ \displaystyle \alpha'+\beta'\geq \alpha+\beta \Rightarrow \cot(\alpha+\beta)\geq \cot(\alpha'+\beta')\Rightarrow -\cot(\pi-\alpha+\beta)\geq- \cot(\pi-\alpha'+\beta') \Rightarrow -\cot(\alpha+\beta+\gamma-(\alpha+\beta))\geq- \cot(\alpha'+\beta'+\gamma'-(\alpha'+\beta')) \Rightarrow -\cot(\gamma)\geq- \cot(\gamma') \Rightarrow \cot(\gamma')\geq \cot(\gamma)\\ \\$
Ahora ajuste el $\displaystyle f_1(\alpha,\beta,\gamma,\alpha',\beta',\gamma'):\mathbb{R}^6\rightarrow \mathbb{R}$ $\displaystyle f_2(\alpha,\beta,\gamma,\alpha',\beta',\gamma'):\mathbb{R}^6\rightarrow \mathbb{R}$ tal forma que:
\begin{equation*} f_1(\alpha,\beta,\gamma,\alpha',\beta',\gamma')= \end{ecuación*} \begin{equation} (\cot\beta+\cot\gamma)(\cot\alpha'-\cot\alpha)+(\cot\alpha+\cot\gamma)(\cot\beta'-\cot\beta)+(\cot\alpha+\cot\beta)(\cot\gamma'-\cot\gamma) \tag{6} \end{equation}
\begin{equation*} f_2(\alpha,\beta,\gamma,\alpha',\beta',\gamma')= \end{ecuación*} \begin{equation} (\cot\beta'+\cot\gamma')(\cot\alpha-\cot\alpha')+(\cot\alpha'+\cot\gamma')(\cot\beta-\cot\beta')+(\cot\alpha'+\cot\beta')(\cot\gamma-\cot\gamma') \tag{7} \end{equation}
Nota ahora que por la desigualdad (3), (4) y (5) se deduce que:
\begin{equation} 0 \geq \cot\alpha'-\cot\alpha \tag{8} \end{equation}
\begin{equation} 0 \geq \cot \beta' -\cot\beta \tag{9} \end{equation}
\begin{equation} \cot\gamma'-\cot\gamma \geq 0 \tag{10} \end{equation} Sabemos que $\displaystyle \alpha',\beta',\gamma'$ son los ángulos de un triángulo, de modo que existe $\displaystyle a',b',c'$ tal que $\displaystyle a'^2=b'^2+c'^2-2b'c'\cos\alpha',b'^2=a'^2+c'^2-2a'c'\cos\beta',c'^2=a'^2+b'^2-2a'b'\cos\gamma'$.Deje $\displaystyle R'$ el circunradio del triángulo de lados a $\displaystyle a',b',c'$.
Vamos
$\displaystyle k_{\alpha',\beta',\gamma'}:=\frac{R'}{R}\left(\frac{a'}{b'c'}+\frac{b'}{a'c'}+\frac{c'}{a'b'}\right)$, por lo tanto:
\begin{equation} \frac{a'}{b'c'}+\frac{b'}{a'c'}+\frac{c'}{a'b'}=\frac{R}{R'}k_{\alpha',\beta',\gamma'} \tag{11} \end{equation}
Donde $\displaystyle k_{\alpha',\beta',\gamma'}$ es una variable real de cualquier tipo.Y desde nuestra desigualdad original es homogénea en las variables a, b, c, supongamos, sin pérdida de generalidad que la igualdad de abajo se produce:
\begin{equation} \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}=k_{\alpha',\beta',\gamma'} \tag{12} \end{equation}
Tomar la desigualdad (3) y considerar el desarrollo (aplicando la ley de cosenos y de la ley de los senos): $\\ \displaystyle \cot\alpha \geq \cot\alpha' \Rightarrow \frac{(b^2+c^2-a^2)R}{abc} \geq \frac{(b'^2+c'^2-a'^2)R'}{a'b'c'} \Rightarrow \left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}-2\frac{a}{bc}\right)R\geq \left(\frac{a'}{b'c'}+\frac{b'}{a'c'}+\frac{c'}{a'b'}-2\frac{a'}{b'c'}\right)R' \Rightarrow Rk_{\alpha',\beta',\gamma'}-2\frac{aR}{bc}\geq Rk_{\alpha',\beta',\gamma'}-2\frac{a'R'}{b'c'} \Rightarrow \frac{a'R'}{b'c'}\geq \frac{aR}{bc} \Rightarrow $
\begin{equation} \frac{a'R'}{b'c'}\geq \frac{aR}{bc} \tag{13} \end{equation}
Aplicando la misma lógica de la desigualdad (4), llegamos a la conclusión de: \begin{equation} \frac{b'R'}{a'c'}\geq \frac{bR}{ac} \tag{14} \end{equation}
Supongamos por contradicción que se produce:
\begin{equation} \cot\alpha+\cot\gamma> \cot\alpha'+\cot\gamma' \tag{15} \end{equation}
A ver que:
$\\ \displaystyle \cot\alpha+\cot\gamma> \cot\alpha'+\cot\gamma' \Rightarrow \frac{(b^2+c^2-a^2)R}{abc}+\frac{(a^2+b^2-c^2)R}{abc}> \frac{(b'^2+c'^2-a'^2)R'}{a'b'c'}+\frac{(a'^2+b'^2-c'^2)R'}{a'b'c'} \Rightarrow \frac{bR}{ac}>\frac{b'R'}{a'c'} \\$
Esto contradice la desigualdad (14).En el oder lado, supongamos por contradicción que se produce:
\begin{equation} \cot\beta+\cot\gamma> \cot\beta'+\cot\gamma' \tag{16} \end{equation}
A ver que:
$\\ \displaystyle \cot\beta+\cot\gamma> \cot\beta'+\cot\gamma' \Rightarrow \frac{(a^2+c^2-b^2)R}{abc}+\frac{(a^2+b^2-c^2)R}{abc}> \frac{(a'^2+c'^2-b'^2)R'}{a'b'c'}+\frac{(a'^2+b'^2-c'^2)R'}{a'b'c'} \Rightarrow \frac{aR}{bc}>\frac{a'R'}{b'c'} \\$
Esto contradice la desigualdad (13).Por lo tanto:
\begin{equation} \cot\alpha+\cot\gamma \leq \cot\alpha'+\cot\gamma' \tag{17} \end{equation}
\begin{equation} \cot\beta+\cot\gamma \leq \cot\beta'+\cot\gamma' \tag{18} \end{equation}
Multiplicando (17) por $\displaystyle \cot\beta'-\cot\beta$ y multiplicar (18) por $\displaystyle \cot\alpha'-\cot\alpha$, tenga en cuenta que estas desigualdades se inverso, ya que estamos multiplicando por no positivo cantidades, tendremos, respectivamente:
\begin{equation} (\cot\alpha+\cot\gamma) (\cot\beta'-\cot\beta)\geq (\cot\alpha'+\cot\gamma')(\cot\beta'-\cot\beta) \tag{19} \end{equation}
\begin{equation} (\cot\beta+\cot\gamma) (\cot\alpha'-\cot\alpha)\geq (\cot\beta'+\cot\gamma')(\cot\alpha'-\cot\alpha) \tag{20} \end{equation}
En el otro lado de las desigualdades (3) y (4) sabemos que: \begin{equation} \cot\alpha+\cot\beta \geq \cot\alpha'+\cot\beta' \tag{21} \end{equation} Multiplicando la desigualdad anterior por $\displaystyle \cot\gamma'-\cot\gamma$, que por la desigualdad (10) sabemos que ser mayor que o igual a cero, tendremos:
\begin{equation} (\cot\alpha+\cot\beta) (\cot\gamma'-\cot\gamma)\geq (\cot\alpha'+\cot\beta')(\cot\gamma'-\cot\gamma) \tag{22} \end{equation} La adición de (19), (20) y (22), tendremos:
\begin{equation*} f_1(\alpha,\beta,\gamma,\alpha',\beta',\gamma')\geq \end{ecuación*} \begin{equation} (\cot\alpha'+\cot\gamma')(\cot\beta'-\cot\beta)+(\cot\beta'+\cot\gamma')(\cot\alpha'-\cot\alpha)+(\cot\alpha'+\cot\beta')(\cot\gamma'-\cot\gamma) \tag{23} \end{equation}
Agregar el lado izquierdo de (23) con el lado izquierdo de (7) y el lado derecho de (23) con el lado derecho de (7), los términos de cancelación y tendremos:
\begin{equation} f_1(\alpha,\beta,\gamma,\alpha',\beta',\gamma')+f_2(\alpha,\beta,\gamma,\alpha',\beta',\gamma')\geq 0 \end{equation} Y esto implica, finalmente, que:
\begin{equation} (\cot\beta+\cot\gamma)\cot\alpha'+(\cot\alpha+\cot\gamma)\cot\beta'+(\cot\alpha+\cot\beta)\cot\gamma'\geq 2 \end{equation} Que es, precisamente, la desigualdad (2), lo cual es equivalente a la desigualdad deseada.Por lo tanto, la desigualdad de los rendimientos.
