Tratando de entender epsilon-delta

Question

La definición de un límite es:

$\lim_{x\to a}f(x)=L$ si para cada a $\epsilon > 0$ no es un porcentaje ( $\delta > 0$ , de modo que siempre que $0 < \lvert x - a \rvert < \delta$ tenemos $\lvert f(x) - L \rvert < \epsilon$

Ahora parece bastante intuitivo. Pero estoy atascado en un par de problemas:

1. Muchas imágenes muestran algo como esto:

   epsilon-delta

   Esto parece intuitivo en primer lugar, y se demuestra que $\lvert x - a \rvert$ $\lvert f(x) - L \rvert < \epsilon$ no son necesariamente los mismos (como la gráfica puede ser engañoso, especialmente si $f(x)$ es una línea recta) como cuando se proyecta desde $L$ a la gráfica de abajo para $a$, $\lvert x - a \rvert$ y $\lvert f(x) - L \rvert$ será diferente. El problema a mi entender hizo evidente cuando vi un gráfico similar en un libro de texto, donde las líneas proyectadas fueron no $\lvert f(x) - L \rvert$, pero la proyección para fines estéticos y que fue delimitada por $\lvert f(x) - L \rvert$. Entonces me di cuenta de que yo no lo entiendo geométricamente (Google "mooculus", página 20).

2. No entiendo lo de la "verificación" en la prueba. Parece ser una tautología. Tomar, por ejemplo,$\lvert f(x) - L \rvert < \epsilon \Longrightarrow \lvert (3x - 1) - 2 \rvert < \epsilon$. Eventualmente llegan a $\lvert x - 1 \rvert < \epsilon/3$. Entonces la prueba es "completado" por mostrar que $\lvert x - a \rvert < \delta \Longrightarrow \lvert x - 1 \rvert < \epsilon/3 \Longrightarrow \lvert f(x) - L \rvert < \epsilon$. Pero $\delta$ es $\epsilon/3$. Parece ser el equivalente de lo que demuestra que $x + 1 = 2$ conectando $-3$ en ella.

3. La prueba se inicia por tanto suponiendo que el límite existe o no existe. De hecho, he encontrado que muchos de los libros de texto o los profesores para adoptar este enfoque:

   Piense en ello como un juego. Me puede dar una $\epsilon > 0$ y me puede dar una $\delta > 0 $...

   Pero suelen omitir una flagrante parte: que si este no es, el límite no existe. También flagrante falta, no he visto un ejemplo de una prueba de que no es simplemente "probar" o "mostrar" la premisa de que se suponía ya! ¿Cómo podría, por ejemplo, el uso de la épsilon-delta definición para mostrar un límite no existe si no lo sabe ya de antemano es el caso?

Para ampliar en número de 3, soy consciente de que se debe elegir una $\epsilon$ y que si se lo puede comprobar por uno, demostrar que para todos los. Sin embargo, la captura es en los casos donde $\lvert x - a \rvert$ debe ser restringida (i.e, $\lvert x - a \rvert < 1$) $1$ es elegido normalmente, pero esto no funciona en todos los casos! Yo no tengo la intuición sobre cómo elegir un $\epsilon$ ni saber si simplemente estoy haciendo algo mal o si el límite no existe. Que se acredite la negativa parece más difícil.

Puede alguien explicar en una diferente manera? Yo he recurrido a muchos diferentes .edu fuentes en línea gratuito de libros de texto e incluso preguntas en este sitio y la pedagogía no parece estar llegando a mí.

Answer 1

Usted está en lo correcto ... es un juego. Quiero dar un $\epsilon>0$, y a continuación, su trabajo es encontrar la $\delta >0$ tal que $|f(x) - L|< \epsilon$ siempre $|x-a|< \delta$. Si siempre se puede hacer esto, entonces usted gana, y el límite existe. Diciéndolo de otra manera, usted gana si usted siempre puede hacer $|f(x) - L|$ tan pequeño como quieras (en concreto, más pequeño que el $\epsilon$ I te dio) por la elección de un adecuado $\delta$.

Si puedo encontrar un $\epsilon$ para el cual usted no puede encontrar un correspondiente $\delta$, se pierde -- el límite no existe.

El injusto es que usted tiene que ganar un infinito número de rondas. Si usted gana una ronda (mediante la búsqueda de un buen $\delta$), tengo el derecho a elegir un nuevo $\epsilon$, y tenemos que jugar otra ronda.

Así que, la única manera de ganar, realmente, es inventar algún procedimiento que automáticamente produce una ganancia de $\delta$ no importa lo $\epsilon$ que yo elija. Normalmente, su $\delta$ será dado por algunos regla que depende de la $\epsilon$ os doy. No es una fórmula, necesariamente, pero al menos algunos procesos bien definidos.

Vamos a probar un par de ejemplos:

Ejemplo 1:

$f(x) = 2x; \; a = 1; \; L = 2$.

Fácil para usted para ganar. Dado que mi valor de $\epsilon$, usted apenas elige $\delta = \tfrac12\epsilon$$\delta = \tfrac13\epsilon$. Con este procedimiento para la elección de $\delta$, ganar cada ronda, por lo que el límite existe. Si se dibuja una imagen, usted probablemente puede ver que el factor de $\tfrac12$ que aparece en la estrategia ganadora está relacionado con el hecho de que la función tiene una pendiente de $2$. Este tipo de estrategia funciona siempre que la función no tiene un "infinito" de la pendiente.

Ejemplo 2:

$f(x) = 0$ al $x < 5$ $f(x) = 6$ cuando $x \ge 5;\;$ $a = 5;\;$ $L = \text{anything}$.

El valor de esta función de "saltos" de$0$$6$$x=5$. Con esta función, usted no puede ganar. Si elijo $\epsilon = 2$, por ejemplo, estás muerto. ¿Por qué elegí $\epsilon = 2$? Debido a que el valor de la función "saltos" por $6$, y necesito un número menor que $6/2$, por razones que se explican a continuación. Entonces, no importa lo pequeño que elegir su $\delta$, el intervalo de $[5-\delta, 5+\delta]$ se incluyen algunos puntos de $x$ donde $f(x)=0$, y algunos puntos de $x$ donde $f(x)=6$. Su mejor tiro a probar un límite es tratar de $L= 3$ (a mitad de camino entre el$0$$6$). Pero incluso esto no va a funcionar. No importa lo pequeño que elegir su $\delta$, habrá puntos de $x$$|x-5|<\delta$, pero donde $|f(x) - 3|> 2$. Así, en este caso, no hay límite en $x=5$. Ejecutar en esta situación de pérdida cuando la función tiene un "salto" en su valor en $x=a$. Un "salto" es una forma de ladera infinita; hay otras más exóticas formas, también.

El $\epsilon$-$\delta$ enfoque es el que generalmente se utiliza para proporcionar una rigurosa prueba de que algunos determinado número es el límite. Pero, como usted señaló, en primer lugar, supongo que un límite existe, y usted tiene que adivinar su valor, y el $\epsilon$-$\delta$ el material es de poca ayuda en este sentido. Usted necesita la intuición, las conjeturas, los bocetos de los gráficos, y cualquier otros trucos que funcionan para usted. El cálculo es relativamente fácil; el desarrollo de la intuición es más difícil, y es más difícil de enseñar, también.

Answer 2

Esto no es una respuesta completa, pero sólo abordar el comentario de usuario GFauxPas que a su vez resuelve el problema 3 de la publicación original:

He encontrado muchos libros de texto o los profesores para adoptar este enfoque:

Piense en ello como un juego. Me puede dar una ϵ>0 y me puede dar una δ>0 ... Pero suelen omitir una flagrante parte: que si este no es, el límite no existe.

Nos muestran cómo la adivinación del derecho $\delta>0$ puede fallar en discontinuidades por una ligera modificación de la OP ejemplo: \begin{align*} f(x) :=\begin{cases} 3x-1&@x\neq 1\\ 0 &@ x=1 \end{casos} \end{align*} Suponemos que $f$ sería continua en $x=1$. Deje $\varepsilon>0$ ser arbitrariamente (pequeño). La búsqueda de una adecuada $\delta>0$ $|f(x)-f(1)|<\epsilon$ todos los $|x-1|<\delta$ podemos determinar la pre-imagen de la $\varepsilon$-vecindario $(-\varepsilon,\varepsilon)$$f(1)=0$: \begin{align*} \{x\in\mathbb{R}:\,|f(x)-f(1)|<\varepsilon\} &= \underbrace{\{1\}}_{\text{for }f(x)=0}\cup \{x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}:\,|3x-1|<\epsilon\}\\ &=\{1\} \cup \left(\frac{1-\varepsilon}3,\frac{1+\varepsilon}3\right) \end{align*} A partir de $\varepsilon=2$ el intervalo abierto $\left(\frac{1-\varepsilon}3,\frac{1+\varepsilon}3\right)$ se desconecta a la ubicación de $x=1$ reducción $\varepsilon$. Así que el argumento de $x=1$, el cual se asigna en el abierto de $\varepsilon$-barrio de $f(1)$ se convierte en aislamiento en la pre-imagen de este barrio. La pre-imagen no es un barrio de $x=1$ y por lo tanto no contiene el intervalo de $(1-\delta,1+\delta)$ cualquier $\delta>0$.

La siguiente figura muestra la pre-imagen de $(f(1)-\varepsilon,f(1)+\varepsilon)$$\varepsilon=1$, es decir, $f^{-1}((-1,1))=\{x\in\mathbb{R}:\, -1<f(x)<1\}$. Tomamos $\varepsilon=1$ en lugar de $\varepsilon=2$ para hacer el aislamiento de $x=1$ en la pre-imagen de $(f(1)-\varepsilon,f(1)+\varepsilon)$ más visible. El círculo roto ( ) a $(x,y)=(1,2)$ indica que existe una brecha en el gráfico lineal en $x=1$. Este vacío es llenado por $(x,y)=(1,0)$ como es indicado por la bala•.

La tira azul indica la y-intervalo de $(-1,1)$ que se asigna a la pre-imagen de $f^{-1}((-1,1))$ que es de color amarillo. Tomamos nota especial de el anillo amarillo alrededor de la bala en $(x,y)=(1,0)$ que es la que indica el punto de la pre-imagen.

No hay espacio alrededor de este punto para una $\delta$-intervalo.

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Además, un comentario sobre los carteles originales de la declaración:

Soy consciente de que se debe elegir una ϵ y que si se lo puede comprobar por uno, demostrar que para todos los.

Eso no es cierto. Usted debe demostrar que para todos los $\varepsilon>0$ encontrará $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$$|x-a|<\delta$. Para ello hay que mantener a $\varepsilon$ como una variable libre y no vinculantes $\varepsilon$ a un número específico. Sólo cuando refutar la continuidad es suficiente para proporcionar un determinado $\varepsilon>0$ de manera tal que la pre-imagen de $(f(a)-\varepsilon,f(a)+\varepsilon)$ no es un barrio de $a$.