Hace poco estuve jugando con armónica de los números - que es $H_x = \sum^x_{k=1}\frac{1}{k}$ - y yo estaba pensando en lo que pasaría si se aplica de Gauss truco para la suma, que es la de sumar el primer y el último término, luego el segundo y el último término y así sucesivamente. Esto se utiliza generalmente en la adición de números naturales, pero cuando se aplica a la suma me di cuenta de un recurrente numerador. $$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\to\frac{7}{6}+\frac{7}{10}+\frac{7}{12}$$ También me di cuenta de que hay algunos casos en los que no había, como $H_{8}$ $$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\to\frac{9}{8}+\frac{9}{14}+\frac{\textbf{1}}{2}+\frac{9}{20}$$ A partir de este supuse que si $H_x$ con Gauss' truco aplicado tiene una constante el numerador, a continuación, $x+1$ es primo. Traté de probar esto, pero no estoy seguro si estoy en lo correcto.
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Observe que si usted escribe $\frac12$ en tu segundo ejemplo como $\frac{9}{18}$, luego de obtener su bonito patrón de la espalda.
Por lo general, cada término de la secuencia que tiene la forma $$ \frac{1}{n} + \frac{1}{x+1-n} = \frac{x+1}{n(x+1-n)} $$ y si $x+1$ es primo, entonces usted puede estar seguro de que no reducen aún más.
Por otro lado, si $x+1$ es compuesto, entonces habrá al menos una de las $n$s que la dividen, por lo que en el plazo para que $n$ tanto del numerador y el denominador será divisible por que $n$, por lo que puede ser reducido.
En la otra otro lado, el plazo para$n=1$$\frac{x+1}{x}$, que nunca se reduce.
Así que todos los de la reducción de los numeradores son iguales exactamente si $x+1$ es primo.
Esto no es un "método para encontrar los números primos", aunque, debido a que la informática y la reducción de todas las sumas que se necesitan al menos tanto como la comprobación de si $x+1$ es el primer ensayo de la división de todos modos.
Como se señaló en un comentario, que están generando una secuencia de números $$\frac{1}{i}+\frac{1}{n+1-i} = \frac{n+1}{i(n+1-i)}.$$ Ahora note que esta fracción se simplifica si el numerador y el denominador tienen en común divisor, pero ambos números de $i,n+1-i < n+1$ iterar a través de todos los números menos de $n+1$, por lo que si hay es un número dividiendo $n+1$, se va a simplificar la fracción de tiempo (es decir, si $n+1$ es compuesto) y no va a simplificar la fracción, si no hay tal (por lo tanto, $n+1$ es una de las principales).
Si se considera el $n$-ésimo número armónico, agregar los términos de $\frac{1}{k}$$\frac{1}{n - k + 1}$. Su suma es $$\frac{1}{k} + \frac{1}{n - k + 1} = \frac{n - k + 1}{k(n - k + 1)} + \frac{k}{k(n - k + 1)} = \frac{n + 1}{k(n - k + 1)}$$
Para $k = 1$ obtenemos $\frac{n + 1}{n}$, lo cual es una fracción en forma reducida, ya que $\gcd(n + 1, n) = 1$. Esto significa que el único valor posible para el común numerador es $n + 1$. Pero este será el caso si y sólo si $\gcd(n + 1, k) = 1$$\gcd(n + 1, n - k + 1) = 1$. Por último tenemos $$\gcd(n, n - k + 1) = \gcd(n + 1, n + 1 - k) = \gcd(n + 1, k).$$
Esto significa que todas las fracciones en forma reducida si y sólo si $\gcd(n + 1, k) = 1$ todos los $1 \le k \le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$, lo que equivale a $n + 1$ prime.
