Cómo utilizar el módulo de " operador?

Question

Este es un problema de BdMO $2012$ Dhaka región Cuestión del Papel:

El producto de un número con el mismo se llama su plaza. Por ejemplo, $2$ multiplicado por el $2$$4$, lo $4$ es el cuadrado de $2$. Si usted toma un cuadrado número y multiplicar en sí, lo que será la mayor posible resto si el producto se divide por $10$?

Se me ocurrió esto: $$x^4 \mod {10}$$

Sé que el operador módulo (%) calcula el resto de una división. Y que se puede utilizar para ver, supongamos, si $N$ es un múltiplo de a $M$ o no. Nada más que eso. Estoy mucho más familiarizado con el mod debido a mi experiencia en programación con nivel medio de lenguajes como C y C++. No fue hasta más tarde que me di cuenta de que el módulo se utiliza en matemáticas así.

Ahora, cómo utilizar el módulo de " operador? ¿Cómo puedo usar esto para avanzar en la solución de este problema?

Answer 1

$1$. El resto será la unidad dígito del número que está dividiendo. Por ejemplo, Resto al $16$ se divide por $10$$6$.

Prueba: Si usted tiene un $n$ número de dígitos a continuación, usted puede escribir como $10^{n-1}a_0+10^{n-2}a_1+........+10a_{n-2}+a_{n-1}$ donde $a_{n-1}$ es la unidad de dígitos. Observe que todos los términos de la suma son divisibles por $10$, el único sospechoso es $a_{n-1}$.

$2$. Observe que la unidad de dígitos de un número cuadrado puede ser$0,1,4,5,6,9$, y la correspondiente unidad de dígitos de $4th$ poderes pueden ser $0,1,6,5,6,1,$.

Así, del resto mayor es $6$.

Answer 2

Por Fermat Poco Teorema, $x^4$ resto $1$ cuando se divide por $5$; de modo que, cuando se divide por $10$, que sólo podía tener como resto $1$ o $6$. Esto último se puede lograr, por ejemplo, por $2^4$ mod $10 \equiv 6$ como máx. QED.

Answer 3

Sabemos que la unidad de dígitos de las plazas siempre pertenecen al conjunto de estos números : $A = \{ 1,4,9,6,5,0\}$.

La unidad de dígitos de los cuadrados de los números de $\in A$ nos da la posible unidad de dígitos de la cuarta poderes de todos los números. Por lo tanto, creamos un conjunto de $B = \{1,6,5,0\}$ donde los elementos en $B$ denota la posible hallar el módulo de la cuarta potencias de un número $10$.

Fuera de estos, podemos ver que el máximo número posible de resto es $6$. En una nota de lado, esto se realiza para todos los números excepto los múltiplos de $10$. Espero que ayude.

Answer 4

Así que usted puede simplemente tratar todos los $10$ opciones posibles:

• $x\equiv0\pmod{10} \implies x^4\equiv0^4\equiv 0\equiv0\pmod{10}$
• $x\equiv1\pmod{10} \implies x^4\equiv1^4\equiv 1\equiv1\pmod{10}$
• $x\equiv2\pmod{10} \implies x^4\equiv2^4\equiv 16\equiv6\pmod{10}$
• $x\equiv3\pmod{10} \implies x^4\equiv3^4\equiv 81\equiv1\pmod{10}$
• $x\equiv4\pmod{10} \implies x^4\equiv4^4\equiv 256\equiv6\pmod{10}$
• $x\equiv5\pmod{10} \implies x^4\equiv5^4\equiv 625\equiv5\pmod{10}$
• $x\equiv6\pmod{10} \implies x^4\equiv6^4\equiv1296\equiv6\pmod{10}$
• $x\equiv7\pmod{10} \implies x^4\equiv7^4\equiv2401\equiv1\pmod{10}$
• $x\equiv8\pmod{10} \implies x^4\equiv8^4\equiv4096\equiv6\pmod{10}$
• $x\equiv9\pmod{10} \implies x^4\equiv9^4\equiv6561\equiv1\pmod{10}$