Demostrando que $D_{12}\cong S_3 \times C_2$

Question

Demostrar que $D_{12}\cong S_3 \times C_2$.

Yo realmente no sé cómo debo iniciar esta pregunta. Mi instinto dice que de alguna manera tengo que considerar normal subgrupos de $D_{12}$ pero no puedo ver cómo esto conducirá necesariamente a una solución única.

No hay soluciones, sólo sugerencias (en parte porque no puedo darle más de un intento y no quiero que este votada abajo)

Idealmente me gustaría una no solución geométrica, de modo que las técnicas similares pueden ser utilizados para grupos generales

Answer 1

Usted sabe que $D_{12}$ es el grupo de simetrías de un Hexágono. Dibujar las tres más largo de las diagonales del hexágono, y con la etiqueta $a$, $b$, y $c$. El uso de este, se puede describir una función de$D_{12}$$S_3$? ¿Cuál es el núcleo de esta función? Se puede poner una copia de $S_3$$D_{12}$?

Answer 2

Mostrar que el subgrupo generado por a $g^3$ es normal; es obvio que es isomorfo a $C_2$. Ahora muestran que $ D_{12} / C_2 \cong S_3 $.

(Sugerencia: ¿qué hace la presentación de $D_{12} / C_2$?)

A continuación, busque en el subgrupo de $H$ $D_{12}$ generado por $\{g^2,h\}$. Usted puede comprobar $H$ índice de $2$, y así es normal, y, en consecuencia,$D_{12}/H \cong C_2$. A continuación, encontrar la estructura de $H$.

O para decirlo de otra manera, un vistazo a las dos homomorphisms, un envío de $g^3 \mapsto e$, otros el envío de $g^2,h \mapsto e$.

Answer 3

La costumbre bien conocida la presentación de diedro grupos nos da en este caso:

$$D=\left\{\;s,\,t\;:\;\;s^2=t^6=1\,,\,\,sts=t^5 (=t^{-1})\right\}$$

Ahora, tomar

$$\;s:=((12)\,,\,1)\;,\;\;t:=((123)\,,\,c)\in S_3\times C_2\;,\;\;C_2=\{1,c\}\;,\;\;c^2=1$$

Observar que $\;s^2=t^6=1\;$ , y

$$sts=(\,(12)(123)(12)\,,\,1c1\,)=(\,(132),\,\,c\,)$$

y

$$((123)\,,\,c)((132)\,,\,c)=((1)\,,\,1)=1\in S_3\times C_2$$

así....