Finito subconjuntos y el Definibles por el Poder Conjunto de la Operación

Question

Estoy empezando a leer el capítulo VI de Kunen de la "Teoría de conjuntos: I introducción a la Independencia de las Pruebas". Lema 1.2 dice que para cada fórmula $\phi(v_0, ..., v_{n-1}, x)$ con todas las variables libres se muestra, $\forall A \forall v_0, ..., v_{n-1}\in A[\{x \in A: \phi^A(v_0, v_1, ..., v_{n-1}, x)\} \in \mathscr D(A)]$ donde $\mathscr D$ denota la definibles por el poder conjunto de la operación.

En el Lema 1.3(c), Kunen demuestra que cada subconjunto finito de $A$$\mathscr D (A)$. Después de eso, él afirma que "aquellos lectores que piensan que (c) es una consecuencia trivial de Lema 1.2 debe referirse a los Ejercicios 19 y 20." Bueno, yo tenía esa sensación, así que fui allí para echar un vistazo.

Ejercicio (20) dice: Lo que está mal con la siguiente "prueba" de 1.3(c)?
Deje $X=\{a_0, ..., a_{n-1}\}$. Entonces por 1.2, $X=\{x \in A: \phi^A(a_0, ..., a_{n-1}, x)\}\in\mathscr D(A)$ donde$\phi$$x=a_0 \vee ... \vee x=a_{n-1}$.

Bueno, yo no puedo entender por qué. Alguien puede darme alguna ayuda?

Answer 1

Lema 1.2 (y la supuesta prueba en el ejercicio 20) cuantificar $n$ en el nivel meta -- hablando apropiadamente para cada una de las $n$ (cada una de las $\phi$)hay diferentes teorema de ZF con su propia prueba.

1.3(c) afirma que la única fórmula $\forall X\subset A\bigl(|X|<\omega\to X\in\mathscr D(A)\bigr)$ como un teorema de ZF. Con el fin de demostrar que usted no deje que su prueba depende de lo que el tamaño real de $X$ es.

Intuitivamente, considere la posibilidad de que una adecuada prueba de 1.3(c) debe trabajar incluso para un modelo de ZF con los no-estándar de los números enteros, tal que un $X$ que (en el modelo), satisface $|X|<\omega$ no puede ser algo que usted reconoce como finito cuando se mira en el modelo desde el exterior.

Answer 2

Para complementar Henning Makholm la respuesta, aquí hay una discusión de una versión simplificada de la situación en la que el mismo problema aparece.

La primera revisión de una fórmula $\psi(v)$ y considerar de manera análoga al Lema 1.2 teoría de la $\mathsf{T}$ consistente en las declaraciones de $\psi[n]$ para cada uno de los meta-natural-número $n$. Con esto quiero decir que consta de las declaraciones $\psi[0]$, $\psi[S(0)]$, $\psi[S(S(0))],\ldots$ donde $S$ denota el sucesor de operación y los puntos suspensivos significa que para cada meta-natural-número $n$ no es una afirmación con la que muchos casos de la "$S$" símbolo.

El próximo considerar de forma análoga a Lema 1.3(c) la sola declaración de $\theta$"$\forall n \in \mathbb{N}\,\psi(n)$".

En general, no tenemos $\mathsf{ZFC} + \mathsf{T} \vdash \theta$. Si lo hiciéramos, entonces por el finitary la naturaleza de las pruebas, $\theta$ seguiría de algún subconjunto finito de $\mathsf{T}$, es decir, de $\psi[0]$, $\psi[S(0)],\ldots$ $\psi[S(\cdots S(0)\cdots )]$ hasta algunos meta-natural-número de aplicaciones de la función sucesor, y no hay ninguna razón para creer que este debería ser el caso.

Por ejemplo, si $\mathsf{ZFC}$ es consistente y $\psi(v)$ dice "$v$ no el código de una prueba de una contradicción de $\mathsf{ZFC}$" a continuación en realidad $\psi[0]$, $\psi[S(0)]$, $\psi[S(S(0))],\ldots$ todos tienen, y por tanto tenemos $\mathsf{ZFC} \vdash \mathsf{T}$. Por otro lado, la declaración de $\theta$ definida como "$\forall n \in \mathbb{N}\,\psi(n)$" expresa la consistencia de $\mathsf{ZFC}$ $\mathsf{ZFC} \not\vdash \theta$ por el segundo teorema de la incompletitud.