Demostrar que una función es en $L^2[0,1]$

Question

Si $f\in L^2[0,1]$, e $$g(x)=\int_0^1\frac{f(t)\mathrm dt}{|x-t|^{1/2}},\quad x\in[0,1],$$ mostrar que $\|g\|_2\le2\sqrt2\|f\|_2$.

Traté de Minkowski integral de la desigualdad (con $p=1/2$, por lo que la desigualdad se invierte), pero no puede llegar a la desigualdad necesito. Yo también solía del Titular de la inequidad y no demasiado.

¿Cuál es el enfoque correcto para resolver este problema?

Answer 1

Una posible solución pasos:

1. Demostrar que $$ \int_0^1\frac{1}{|x-t|^{1/2}}\,dt=2\sqrt{x}+2\sqrt{1-x}\le 2\sqrt{2}. $$
2. Demostrar que $\|g\|_\infty\le 2\sqrt{2}\|f\|_\infty$ (estimación simple por 1).
3. Demostrar que $\|g\|_1\le 2\sqrt{2}\|f\|_1$ (utilizando, por ejemplo, del teorema de Tonelli y 1).
4. A la conclusión de que $\|g\|_2\le 2\sqrt{2}\|f\|_2$ por el Riesz-Thorin teorema.

Answer 2

Aquí hay otra respuesta sólo los usos básicos de cálculo. A partir de la expresión de $g$, \begin{align} \|g\|_2^2 &=\int_0^1 g(x)^2 dx \cr & =\int_0^1\int_0^1 \int_0^1 \frac{f(t)}{|x-t|^{1/2}}\frac{f(s)}{|x-t|^{1/2}}dsdtdx \cr &\leq \int_0^1 \int_0^1 \int_0^2 \frac{f(t)^2+f(s)^2}{2}|x-t|^{-1/2}|x-s|^{-1/2}dsdtdx \cr &=\int_0^1 f(t)^2 \left[\int_0^1 |x-t|^{-1/2} \left(\int_0^1 |x-s|^{-1/2}ds\right)dx \right]dt. \end{align} Entonces podemos obtener la deseada desigualdad mediante la estimación de $\int_0^1 |x-s|^{-1/2}ds=\int_0^1 |x-t|^{-1/2}dx\leq 2\sqrt{2}$.

Comentario: La desigualdad es realmente cierto para cualquier $L^p$ norma utilizando el teorema de interpolación en la otra respuesta.