¿Cómo encontrar un vector perpendicular a otro vector?

Question

¿Cómo puedo encontrar un vector perpendicular a un vector como este: $$3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k}?$$ ¿Alguien podría explicarme esto, por favor?

Tengo una solución para esto cuando tengo $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$, pero no pude resolverlo si tengo $3$ componentes...

Cuando busqué en Google, vi la solución directa pero no encontré un proceso o método a seguir. Por favor, házmelo saber. Gracias.

Answer 1

Existe un número infinito de vectores en 3 dimensiones que son perpendiculares a uno fijo. Solo deben cumplir la siguiente fórmula: $$(3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k}) \cdot v=0$$

Para encontrar todos ellos, simplemente elige 2 vectores perpendiculares, como $v_1=(4\mathbf{i}-3\mathbf{j})$ y $v_2=(2\mathbf{i}+3\mathbf{k})$ y cualquier combinación lineal de ellos también es perpendicular al vector original: $$v=((4a+2b)\mathbf{i}-3a\mathbf{j}+3b\mathbf{k}) \hspace{10 mm} a,b \in \mathbb{R}$$

Answer 2

Realiza el producto cruz con cualquier vector. Obtendrás un vector similar.

Answer 3

Un problema relacionado es construir un algoritmo que encuentre un vector perpendicular no nulo sin ramificación. Si el vector de entrada es N = (a,b,c), entonces siempre podrías elegir T = (c,c,-a-b) pero T será cero si N=(-1,1,0). Siempre podrías verificar si T es cero, y luego elegir T = (-b-c,a,a) si lo es, pero esto requiere una prueba y una rama. No puedo ver cómo hacer esto sin la prueba y la rama.

Answer 4

Solo necesitas encontrar cualquier vector $v \neq 0$ tal que $v \cdot (3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k}) = 0$.

No hay una solución única, cualquiera servirá. Para ahorrar tiempo, vamos a llamar a $p = 3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k}$.

Elige un vector $x$, que no esté en la línea que pasa por el origen y $p$. Toma, por ejemplo, $x = 3\mathbf{i}$.

Construye un vector perpendicular a $p de la siguiente manera: Encuentra un valor de $t$ tal que $(x+t p) \cdot p = 0$. Entonces, el vector $v=x+t p$ será perpendicular a $p$.

En mi ejemplo, $(x+t p) = (3 + 3 t)\mathbf{i}+4 t \mathbf{j}-2t\mathbf{k}$, y $(x+t p) \cdot p = 9 + 29 t$. Al elegir $t=-\frac{9}{29}$, el vector $v=x+t p$ ahora es perpendicular a $p$.

Answer 5

Una posible solución sin una rama podría ser: Construir un array de 2 elementos vectoriales de la siguiente manera:

arr[0] = (c, c, -a-b) arr[1] = (-b-c, a, a)
int selectIndex = ((c != 0) && (-a != b)) // esto no es una rama
perpendicularVector = arr[selectIndex]

Si (c, c, -a-b) es cero, selectIndex es 1 y se seleccionará el otro vector.