El colector de espín y la segunda clase de Stiefel-Whitney

Question

Lo sabemos:

Las estructuras de espín existirán si y sólo si la segunda clase de Stiefel-Whitney $w_2(M)\in H^2(M,\mathbb Z/2)$ de $M$ desaparece.

¿Puede alguien utilizar palabras sencillas y lógica para demostrar por qué lo anterior es cierto?

Nota. Más concretamente, de Wikipedia : André Haefliger encontró las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una estructura de espín en una variedad riemanniana orientada (M,g). El obstáculo para tener una estructura de espín es cierto elemento [k] de $H^2(M,\mathbb{Z}/2)$ . Para una estructura de espín la clase [k] es la segunda clase de Stiefel-Whitney $w_2(M)\in H^2(M,\mathbb{Z}/2)$ de M. Por tanto, existe una estructura de espín si y sólo si la segunda clase de Stiefel-Whitney $w_2(M)\in H^2(M,\mathbb Z/2)$ de M desaparece.

A. Haefliger (1956). "Sobre la extensión del grupo estructural de un espacio fibrado". C. R. Acad. Sci. París 243: 558-560.

Answer 1

Las estructuras de giro y la segunda clase de Stiefel-Whitney no son en sí mismas especialmente sencillas, así que no sé qué tipo de respuesta esperas. Aquí tienes una respuesta que al menos tiene la ventaja de ser bastante conceptual.

Primero, algunos preliminares. Recordemos que un haz vectorial real de rango $n$ en un espacio es lo mismo que un principal $\text{GL}_n(\mathbb{R})$ -(es decir, su haz de marcos) y que el principal $G$ -se clasifican mediante mapas en el espacio clasificador $BG$ . En particular, una colector liso $M$ de dimensión $n$ tiene un haz tangente que tiene un mapa clasificador $M \to B\text{GL}_n(\mathbb{R})$ . La información adicional nos permite reducir el grupo de estructuras de este mapa clasificador de la siguiente manera:

• Si $M$ está dotado de una métrica de Riemann, entonces los mapas de transición para el haz tangente pueden ser elegidos para estar en $\text{O}(n) \subseteq \text{GL}_n(\mathbb{R})$ , por lo que obtenemos un mapa clasificador $M \to B \text{O}(n)$ .
• Si $M$ está además dotado de una orientación, entonces (posiblemente por definición, dependiendo de su definición de orientación) los mapas de transición para el haz tangente pueden además ser elegidos para estar en $\text{SO}(n) \subseteq \text{O}(n)$ , por lo que obtenemos un mapa clasificador $M \to B \text{SO}(n)$ .
• Si $M$ está además dotado de una estructura de espín, entonces (probablemente por definición, dependiendo de su definición de estructura de espín) el mapa clasificador anterior puede elevarse a un mapa clasificador $M \to B \text{Spin}(n)$ .

Ahora bien, ¿qué tiene esto que ver con la segunda clase de Stiefel-Whitney? Primero déjame contar una historia más sencilla sobre la primera clase de Stiefel-Whitney. La primera clase de Stiefel-Whitney es una clase de cohomología $w_1 \in H^1(B\text{O}(n), \mathbb{F}_2)$ dando una clase característica para $\text{O}(n)$ -que desaparece si esos haces pueden reducirse a $\text{SO}(n)$ -fondos. ¿Por qué?

Una de las razones es la siguiente. $w_1$ puede considerarse como una clase de homotopía de mapas $B \text{O}(n) \to B \mathbb{Z}_2$ (donde uso $\mathbb{Z}_2$ para referirse al grupo cíclico de orden $2$ ). Ahora, se sabe que cualquier mapa de este tipo proviene de una clase de mapas de homotopía $\text{O}(n) \to \mathbb{Z}_2$ y hay un candidato obvio para ese mapa, el determinante. Esto da una secuencia exacta

$$1 \to \text{SO}(n) \to \text{O}(n) \to \mathbb{Z}_2 \to 1$$

que, tras aplicar el functor de espacio clasificador, da un Fibración de homotopía

$$B \text{SO}(n) \to B \text{O}(n) \xrightarrow{w_1} B \mathbb{Z}_2$$

exponiendo $B \text{SO}(n)$ como el fibra de homotopía de la primera clase de Stiefel-Whitney.

La fibra homotópica de un mapa entre espacios (puntuales) es análoga al núcleo de un mapa entre grupos; en particular, si $w : B \to C$ es un mapa de grupos, entonces un mapa $f : A \to B$ satisface $w \circ f = 0$ si y sólo si $f$ factores a través de un mapa $A \to \text{ker}(w)$ . Aquí ocurre lo mismo: un mapa clasificador $f : M \to B \text{O}(n)$ cumple con lo siguiente $w_1 \circ f$ es homotópico a un mapa constante si y sólo si es un factor hasta la homotopía a través de la fibra homotópica $M \to B \text{SO}(n)$ .

La razón por la que he dado una descripción tan sofisticada de las orientaciones es que la historia de las estructuras de espín es completamente paralela. A saber, la segunda clase de Stiefel-Whitney es una clase de cohomología $w_2 \in H^2(B\text{SO}(n), \mathbb{F}_2)$ que puede considerarse como una clase de homotopía de mapas $B \text{SO}(n) \to B^2 \mathbb{Z}_2$ . Se pueden producir estas clases aplicando el functor de espacio clasificatorio a una clase de mapas de homotopía $\text{SO}(n) \to B \mathbb{Z}_2$ o, de forma equivalente, una clase de cohomología en $H^1(\text{SO}(n), \mathbb{F}_2)$ y hay un candidato natural para tal clase, a saber, la clase de cohomología que clasifica la doble cobertura no trivial $\text{Spin}(n) \to \text{SO}(n)$ . Esto también implica que obtenemos una fibración de homotopía

$$B \text{Spin}(n) \to B \text{SO}(n) \xrightarrow{w_2} B^2 \mathbb{Z}_2$$

exponiendo $B \text{Spin}(n)$ como la fibra de homotopía de la segunda clase de Stiefel-Whitney, y si se cree esto entonces se sigue de nuevo de la propiedad universal de la fibra de homotopía que un mapa $f : M \to B \text{SO}(n)$ elevaciones a un mapa $M \to B \text{Spin}(n)$ si $w_2 \circ f$ es homotópico a un mapa constante.

(Esta fibración de homotopía es un "delooping" de la fibración de homotopía más obvia $B \mathbb{Z}_2 \to B \text{Spin}(n) \to B \text{SO}(n)$ procedente de la secuencia corta exacta $1 \to \mathbb{Z}_2 \to \text{Spin}(n) \to \text{SO}(n) \to 1$ .)

Este argumento puede continuar hasta la Torre de Whitehead de $B \text{O}(n)$ el siguiente paso es una estructura de cadenas, etc.

Answer 2

La situación es muy sencilla, en realidad.

Recordemos que $Spin(n)$ es la cubierta doble de $SO(n)$ es decir, tenemos una secuencia exacta corta $1\to\mathbb Z/2\to Spin(n)\to SO(n)\to1$ . Induce una secuencia exacta de cohomología $$\require{AMScd} \begin{CD} H^1(X,\underline{Spin}(n)) @>>> H^1(X,\underline{SO}(n)) @>>> H^2(X;\mathbb Z/2)\\ @| @| @|\\ \operatorname{Vect}_{Spin}(X) @>>> \operatorname{Vect}_{SO}(X) @>{w_2}>> H^2(X;\mathbb Z/2) \end{CD} $$ (donde $\underline G$ es la gavilla de $G$ -funciones valoradas en $X$ y la cohomología son la cohomología de Cech), es decir, un $SO$ -estructura se eleva a un $Spin$ -si alguna clase de $H^2(X;\mathbb Z/2)$ es cero (y como bonus gratuito vemos que dos levantamientos cualesquiera difieren en un elemento de $H^1(X;\mathbb Z/2)$ ).

(Por supuesto, podemos poner aún más los pies en la tierra trabajando explícitamente con los cociclos y sin mencionar siquiera las gavillas y la cohomología de Cech).

Ahora esta obstrucción es algunos clase característica mod 2. Pero en realidad sólo hay una clase de este tipo en $H^2(BSO)$ para que coincida con el habitual $w_2$ .