Cómo resolver para $x$ en la ecuación, $4\sqrt{x-3} - \sqrt{6x-17} = 3$ ¿con dos términos de raíz cuadrada?

Question

Así que chicos, mi novia está tomando una clase de álgebra de la universidad este verano y me imaginé que la ayudaría a estudiar para su próximo final porque soy un estudiante de ingeniería y este tipo de matemáticas sería fácil para mí. Mientras hacíamos problemas, llegamos a uno que no tengo ni idea de cómo resolver. Parece ser un simple "aquí hay una ecuación, resuelve para $x$ ." Sólo un problema, terminé sin poder resolver por $x$ , haciéndome sentir avergonzado ya que estaba tratando de ayudarla y se supone que yo soy el que es "bueno en matemáticas". En fin, sería de gran ayuda si alguien me puede ayudar en esto. La ecuación es ....

$$4\sqrt{x-3} - \sqrt{6x-17} = 3$$

La respuesta es $x = 7$ porque lo hice en mi calculadora. Primero intenté elevar al cuadrado cada lado para eliminar las raíces cuadradas. Pero una vez que "FOILed" el lado izquierdo, todavía había raíces cuadradas y las cosas no se veían bien para mí. Por cierto, siento no saber cómo formatear esta ecuación correctamente.

Answer 1

Usted y todas las demás respuestas hasta ahora han hablado de empezar a elevar al cuadrado ambos lados, lo que funciona, pero hay un camino un poco más fácil de tomar. Reescribe tu ecuación para que sólo haya una raíz cuadrada en cada lado, por ejemplo: $$4\sqrt{x-3}=3+\sqrt{6x-17}$$ Ahora, cuando elevas al cuadrado ambos lados, todavía tendrás otra raíz cuadrada con la que lidiar, pero no es la raíz cuadrada de un producto, como la $\sqrt{(x-3)(6x-17)}$ que hubieras tenido: $$16(x-3)=9+6\sqrt{6x-17}+(6x-17)$$ Expandir, juntar los términos semejantes y reordenar para obtener la raíz cuadrada por sí misma: $$5x-20=3\sqrt{6x-17}$$ Cuadra ambos lados de nuevo: $$25x^2-200x+400=9(6x-17)$$ $$25x^2-254x+553=0$$ Si se resuelve esto, se obtiene $$x=7\text{ or }x=\frac{79}{25}$$ pero $x=\frac{79}{25}$ no funciona en la ecuación original, por lo que $x=7$ es la única solución a la ecuación original.

Answer 2

Si quieres menos raíces cuadradas, puedes intentar sustituir $x=t^2+3$ para simplificar la ecuación y obtener $$4t-\sqrt{6t^2+1}=3$$ entonces $$(4t-3)^2=6t^2+1$$ y finalmente $$5t^2-12t+4=0$$ que te da $t=2$ (es decir $x=7$ ) o $t=2/5$ (es decir $x=79/25$ ).

Answer 3

Se puede elevar al cuadrado la ecuación y se obtiene $$16(x-3)+(6x-17)-9=8\sqrt{(x-3)(6x-17)}$$ es decir $$22x-74=8\sqrt{(x-3)(6x-17)} $$ y elevar al cuadrado de nuevo para obtener $$484x^2-44\cdot 74 x+74^2=64\cdot(x-3)(6x-17)$$ que es una ecuación de segundo grado en $x$ ¡sabes como resolver! Esto produce como máximo $2$ soluciones a tu problema, y puedes comprobar a mano si ambas soluciones funcionan o si una no funciona por ejemplo porque el término dentro de la raíz cuadrada es negativo...

Answer 4

Elevar al cuadrado ambos lados es un buen primer paso, ya que reduce el número de raíces cuadradas a una. Otro cuadrado lo arreglará.

$4\sqrt{x-3}-\sqrt{6x-17}=3$

$16(x-3)+8\sqrt{(x-3)(6x-17)}+6x-7=9$

$8\sqrt{(x-3)(6x-17)}=64-22x$

y otro cuadrado se deshace de la raíz cuadrada, dejando una cuadrática. Asegúrate de comprobar las raíces en la ecuación original, ya que la cuadratura no es reversible.

Answer 5

Si elevas al cuadrado cada lado, acabas con un solo término de raíz cuadrada en la expresión resultante. Si lo aíslas en un lado y lo elevas al cuadrado de nuevo, obtendrás una cuadrática en $x$ que puedes resolver.