¿Para qué valores de $a$ , $b$ y $c$ si $a + b = c$ Entonces $ \frac {1}{a} + \frac {1}{b} = \frac {1}{c}$ ?

Question

Tengo un problema en mi tarea, que he tratado de resolver, pero tengo sólo ideas, no soluciones matemáticas reales. El problema es el siguiente:

Supongamos que tenemos tres números reales $a$ , $b$ y $c$ que satisfacen la ecuación:

$$a + b = c$$

¿Es entonces también cierto que:

$$ \frac {1}{a} + \frac {1}{b} = \frac {1}{c}$$

o no? ¿O sólo es cierto para alguna elección particular de $a$ , $b$ y $c$ y cuál sería?

Mis ideas:

• Me di cuenta inmediatamente de que todos $a$ , $b$ y $c$ debe ser diferente de $0$ porque de otra manera tendríamos $ \frac {1}{0}$ en la segunda ecuación, y eso no está definido, como todo el mundo sabe.

• Intenté formar un sistema de ecuaciones con las ecuaciones dadas en la especificación del problema:

$$ \begin {cases} a + b = c \\ \frac {1}{a} + \frac {1}{b} = \frac {1}{c} \end {cases}$$

Ya que tenemos 3 variables ( $a$ , $b$ y $c$ ), no estoy seguro de que este sistema de ecuaciones pueda llevarme a alguna solución.

He tratado de reemplazar $a + b$ en la segunda ecuación:

$$b(a + b) + a(a + b) = ab$$ $$ba + b^2 + a^2 + ba = ab$$

Podemos simplificarlo:

$$ba + b^2 + a^2 = 0$$

Ahora, no sabría cómo proceder, y sinceramente no sé si mi solución (ideas) es correcta o no, o cuán lejos está de la solución real.

Mi suposición es que no hay valores para $a$ , $b$ o $c$ de tal manera que las 2 ecuaciones son válidas.

Answer 1

Importante: sabemos que ninguno de $a,b,c$ puede ser cero porque todos ellos ocurren en un denominador.

a) Se podría tomar el producto $$(a+b)\cdot(1/a+1/b)=c \cdot 1/c=1$$ Por supuesto, esto da $$(a+b)^2=ab \to a^2+b^2 = -ab $$ y por lo tanto $a$ y $b$ debe tener signo alterno.

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b) O se puede tomar el cociente $$(1/a+1/b)/(a+b)=1/c/c \to 1/(ab)=1/c^2 \to ab=c^2$$ y por lo tanto $a$ y $b$ deben tener el mismo signo.

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c) De este modo, comprobamos que a) y b) dan condiciones contrarias, $ \to $ Contradicción, $ \to $ no hay solución.

Answer 2

He aquí una solución sin álgebra, que podría complementar los enfoques sensatos anteriores.

Usted ha trabajado en que $a$ y $b$ son distintos de cero. Por lo tanto, son positivos o negativos.

Si ambos son positivos, entonces por la primera ecuación $c$ debe ser mayor que ambos $a$ y $b$ pero en el segundo $c$ debe ser menor que ambos $a$ y $b$ (los recíprocos son monótonamente decrecientes; uno sobre un número grande es siempre más que uno sobre un número pequeño). Por lo tanto, ambos no son positivos.

Si ambas pudieran ser negativas, entonces la negación de ambas ecuaciones se cumpliría y entonces encontraríamos una solución imposible todo-positiva al "tomar menos todo".

Si uno es positivo y otro negativo, se podría mover el negativo al otro lado de cada ecuación, y así volver a tener una solución imposible todo positivo.

Así que todas las soluciones son imposibles.

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ a^2+b^2+ab=a^2+ab+\frac{b^2}{4}+\frac{3}{4}b^2=(a+b/2)^2+\frac{3b^2}{4}\geq 0. $$ Así, su igualdad obliga a $a=b=0$ pero esto es imposible porque hemos presumido $a,b,c\neq 0$ para legitimar expresiones como $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ .

Answer 4

Incluso una forma más: que $a=M+d, b=M-d$ entonces el producto $$ (a+b) \cdot (\frac 1a+ \frac 1b) = 2M \cdot {2M \over M^2-d^2} =1 = \frac cc $$ Entonces $$ 2M \cdot {2M \over M^2-d^2} =1 \\ \phantom a\\ \to 4M^2 =M^2-d^2 \\ \phantom a\\ \to 3M^2 = -d^2 $$ No hay una solución real para $M$ y $d$ excepto $M=d=0$ pero que está excluido por $a,b,c \notin \mathbb \{0\}$

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Sólo por diversión una más. Utilizamos la media geométrica de $a$ y $b$ , de tal manera que $a=g \cdot u$ , $b=\frac gu $ A continuación, volvemos a considerar el producto $$ (a+b) \cdot (\frac 1a + \frac1b) = c \cdot \frac 1c \\ \to g(u+\frac 1u) \cdot \frac 1g (\frac 1u + u) = 1 $$ que va a $$ \to (u+\frac 1u) ^2=1 \tag 1$$ pero que es imposible porque el valor absoluto de uno de los sumandos ( $u$ o $\frac 1u$ ) debe ser mayor que 1.

Answer 5

Una solución más no puede hacer daño, ¿verdad? Estamos tratando de resolver \begin {align*} a+b=c && \frac {1}{a}+ \frac {1}{b}= \frac {1}{c} && && (1) \end {align*} donde $a,b,c$ tienen que ser números no nulos. Como has señalado, se trata de 3 incógnitas y 2 ecuaciones. Sin embargo, si reordenamos un poco las cosas, tenemos el sistema equivalente \begin {align*} \frac {a}{c} + \frac {b}{c} = 1 && \frac {c}{a} + \frac {c}{b} =1. \end {align*} Como ves, si definimos $x=\frac{a}{c}$ y $y=\frac{b}{c}$ (otros dos números distintos de cero), entonces obtenemos \begin {align*} x+y=1 && \frac {1}{x}+ \frac {1}{y}=1. && && (2) \end {align*} Como el sistema anterior tiene dos ecuaciones y dos incógnitas, es más sencillo convertirlo en una cuadrática en una variable y ver que la ecuación 2 no tiene soluciones en los números reales (aunque hay dos pares de soluciones complejas $(x,y)$ ).

De ello se deduce que no hay soluciones reales a la ecuación 1, aunque $(a,b,c) = (\lambda x, \lambda y, \lambda)$ será una solución compleja de la ecuación 1 siempre que $(x,y)$ es una solución compleja de la ecuación 2 y $\lambda$ es un número complejo no nulo.