¿Bajo qué suposiciones de elección hay una estructura de monoide en cada conjunto?

Question

La pregunta surgió al discutir posibles cardinalidades de hom-conjuntos de si es más débil que el axioma de elección que existe un monoide de cada cardinalidad. Es bien sabido, o al menos conocido, que el axioma de elección se cumple si y solo si cada conjunto $S$ tiene una estructura de grupo. Una dirección sigue de Lowenheim-Skolem, y la otra usando la estructura de grupo para inyectar $S$ en $h(S)\times h(S)$, $h$ el número de Hartogs.

Entonces, una demostración de elección a partir de estructuras de monoide ciertamente tendría que proceder de manera diferente. Si el monoide es conmutativo e infinito, entonces supongo que su grupo de Grothendieck compartirá su cardinalidad, y vemos que la existencia de estructuras de monoide conmutativas en cada conjunto implica AC. ¿Es el adjunto izquierdo del funtor olvidadizo de todos los grupos a los monoides peor que el funtor del grupo de Grothendieck? ¿O alguien sugiere una prueba diferente?

Answer 1

Cada conjunto no vacío admite una estructura de monoide conmutativo:

1. El conjunto de 1 elemento es un monoide de una manera única.
2. Si $X$ tiene al menos dos elementos distintos, digamos $0$ y $1$, entonces podemos hacer que $X$ sea un monoide conmutativo de la siguiente manera: $$x \cdot y = \begin{cases} x & \text{si } y = 1 \\ y & \text{si } x = 1 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}$$ Por supuesto, en este caso $X$ no es un monoide cancelativo.

Answer 2

Si estás dispuesto a pensar en semigrupos en lugar de monoides, entonces se deben hacer algunos comentarios adicionales.

Primer comentario. Cada conjunto $X$ lleva dos estructuras canónicas de semigrupo:

• El semigrupo "cero izquierdo": $xy=x$ para todo $x, y \in X$.
• El semigrupo "cero derecho": $xy=y$ para todo $x, y \in X$.

Esto da lugar a dos funtores no equivalentes

$$\mathbf{SemiGrp} \leftarrow \mathbf{Set}.$$

Obviamente, ambos son secciones del funtor olvidadizo

$$\mathbf{SemiGrp} \rightarrow \mathbf{Set}.$$

Segundo comentario. Por un semigrupo apuntado, me refiero a un semigrupo $X$ junto con un elemento absorbente distinguido $\bot$. Esto se puede definir de manera equivalente como un objeto de semigrupo en la categoría monoidal de conjuntos apuntados con producto smash.

Es interesante observar que cada conjunto apuntado $(X,\bot)$ se puede convertir en un semigrupo apuntado de las siguientes maneras:

• El semigrupo "Zhen Lin": declaramos que $xy=\bot$ para todo $x, y \in X$.
• El semigrupo "igualdad": declaramos que $x^2=x$ para todo $x \in X$ y $xy=\bot$ para todos los $x, y \in X$ distintos.

Esto da lugar a dos funtores no equivalentes

$$\mathbf{\bot SemiGrp} \leftarrow \mathbf{\bot Set}.$$

Obviamente, ambos son secciones del funtor olvidadizo

$$\mathbf{\bot SemiGrp} \rightarrow \mathbf{\bot Set}.$$

Tercer comentario.

Lo que estamos hablando aquí es realmente una especie de "idempotencia categorificada".

Permíteme explicar.

Si $x$ es un elemento de algún monoide, entonces $x$ se dice que es idempotente si $x=x^2$. Tiene sentido escribir $\mathrm{isIdem}(x)$ para la afirmación $x=x^2$. Bueno, ¿pero qué sucede si nos dan un objeto $X$ que vive en una categoría monoidal? Bueno, podríamos elegir definir que $\mathrm{isIdem}(X)$ significa "el conjunto de todos los isomorfismos $X \leftarrow X \otimes X." Pero tales isomorfismos parecen no surgir muy a menudo en la práctica. Otra opción sería definir que $\mathrm{isIdem}(X)$ significa "el conjunto de todos los morfismos $X \leftarrow X \otimes X." Así que básicamente, es el conjunto de todas las formas de hacer que $X$ sea una magma. Pero, ¡maldición, las magmas son tan inútilesmente generales! Entonces, para hacer el concepto más útil, definamos que $\mathrm{isIdem}(X)$ es el conjunto de todos los morfismos asociativos $f : X \leftarrow X \otimes X. En otras palabras, es la colección de todas las formas de hacer que $X$ sea un semigrupo.

Bajo la filosofía de las proposiciones como tipos y a la luz del párrafo anterior, podemos pensar que la proposición "$X$ es idempotente" denota la colección de todas las formas de hacer que el objeto $X$ sea un semigrupo. Por lo tanto, si $\mathbf{C}$ es una categoría monoidal, podemos pensar que la proposición "cada objeto de $\mathbf{C}$ es idempotente" denota la colección de todas las secciones del funtor olvidadizo $$\mathbf{C} \leftarrow \mathrm{Semi}(\mathbf{C}),$$ que se piensan como "pruebas" de esta afirmación. Por lo tanto, el primer comentario realmente consistió en definir dos "pruebas" no equivalentes de que "cada objeto de $(\mathbf{Set},\times,1)$ es idempotente," y el segundo comentario realmente consistió en definir dos "pruebas" no equivalentes de que "cada objeto de $(\bot\mathbf{Set},\otimes,\{0,\bot\})$ es idempotente."