Fácil Prueba Adyacente(Compacto)=Compacto

Question

Estoy buscando una prueba sencilla de que el adjunto de un operador compacto en un espacio de Hilbert es nuevamente compacto. Esto hace que el gran teorema de caracterización de operadores compactos (es decir, compacto si y solo si la imagen de la bola unitaria es relativamente compacta si y solo si la imagen de la bola unitaria es compacta si y solo si el límite en norma de los operadores de rango finito) sea mucho más fácil de probar, siempre y cuando ya hayas desarrollado la teoría espectral para álgebras C*.

Por cierto, estoy utilizando la definición de que un operador $T\colon H \to H$ es compacto si y solo si dada cualquier secuencia [acotada] de vectores $(x_n)$, la secuencia imagen $(Tx_n)$ tiene una subsucesión convergente.

editado por acotada

Answer 1

Lo que estás preguntando se llama teorema de Schauder.

Un operador $T: X \to Y$ es compacto si y solo si $T^{\ast}: Y^{\ast} \to X^{\ast}$ es compacto.

Estoy usando la siguiente definición de compacidad: Un operador $T: X \to Y$ entre espacios de Banach es compacto si y solo si cada secuencia $(x_{n}) \subset B_{X}$ en la bola unitaria de $X$ tiene una subsecuencia $(x_{n_{j}})$ tal que $(Tx_{n_j})$ converja. Esto implica que $K = \overline{T(B_{X})} \subset Y$ es compacto, ya que es compacto de manera secuencial y métrica. Ahora sea $(\phi_{n}) \subset B_{Y^{\ast}}$ cualquier secuencia y queremos mostrar que $(T^{\ast}\phi_{n})$ tiene una subsecuencia convergente. Observa que la secuencia $f_{n} = \phi_{n}|_{K}$ en $C(K)$ está acotada y equicontinua, entonces por el teorema de Arzelà-Ascoli, la secuencia $(f_{n})$ tiene una subsecuencia convergente $(f_{n_{j}})$ en $C(K)$. Ahora observa $$\|T^{\ast}\phi_{n_i} - T^{\ast}\phi_{n_{j}}\| = \sup_{x \in B_{X}} \|\phi_{n_i}(Tx) - \phi_{n_j}(Tx)\| = \sup_{k \in K} |f_{n_i}(k) - f_{n_j}(k)|$$
donde la última igualdad se sigue del hecho de que $T(B_{X})$ es denso en $K$. Pero esto significa que $(T^{\ast}\phi_{n_j})$ es una secuencia de Cauchy en $X^{\ast}$, por lo tanto converge.

Dejo la otra implicación así como la traducción al adjunto de Hilbert como ejercicio para ti.

Answer 2

Dado que $H$ es un espacio de Hilbert, daré otra demostración usando esta propiedad.

Supongamos que $T$ es compacto y sea $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una secuencia acotada. Como está acotada, podemos construir una subsecuencia convergente débilmente, llámela $(x_n)_n$ nuevamente abusando de la notación, tal que $x_n\to x$ débilmente cuando $n\to\infty$. Ahora, queremos demostrar que $T^\ast x_n \to T^\ast x$ fuertemente. Observa que $$\begin{aligned}\|T^\ast (x_n - x) \|^2 &= \langle T^\ast (x_n - x), T^\ast (x_n - x)\rangle=\langle x_n - x , T T^\ast (x_n - x)\rangle \\ &\leq \|x_n-x\| \|T T^\ast (x_n - x)\|\leq C \|T T^\ast (x_n - x)\|,\end{aligned}$$ donde usamos que una secuencia convergente débilmente está acotada. Basta con mostrar que $T T^\ast (x_n - x)\to 0 $ fuertemente cuando $n\to\infty$. Para esto, observa que $T T^* (x_n - x ) \to 0 $ débilmente ya que $T T^*$ es continuo (en la topología fuerte y por lo tanto también en la débil). Dado que $T$ es un operador compacto y los límites son únicos, también sabemos ahora que $T T^\ast (x_n - x)\to 0 $ cuando $n\to\infty$, lo cual concluye la demostración.

Answer 3

Aquí hay una demostración alternativa, siempre y cuando se sepa que un operador es compacto si y solo si es el límite de una secuencia de operadores de rango finito.

Sea $T: H \to H$ un operador compacto. Entonces $T= \lim_n T_n$ donde el límite es respecto a la norma del operador y $T_n$ es un operador de rango finito. Usando que la involución $*$ es continua, obtenemos

$$T^*= \lim_n T_n^*$$

donde $T_n^*$ también es un operador de rango finito para todo $n$. Así que $T^*$ es el límite de operadores de rango finito y se sigue que $T^*$ también es compacto.