Cuaternión anillos

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Definir los cuaterniones de Hamilton $H(R)$ $R$ a ser el libre $R$-módulo con base $\{1, i, j, k\}$, es decir,

$$H(R)=\{a_0+a_1i+a_2j+a_3k\;\;:\;\;a_l\in R\}.$$

y la multiplicación se define por: $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$.

Es bien conocido que a lo largo de un campo de $F$ (con char $F\neq 2$) el anillo de $H(F)$ es un anillo de división o isomorfo a $M_2(F)$. ¿Qué podemos decir acerca de los cuaterniones de Hamilton a través de una arbitraria anillo conmutativo $R$? Es cierto que $H(R)$ es un anillo de división o isomorfo a $M_2(R)$? Debemos imponer algunas condiciones para el anillo para que esto suceda?

Answer 1

(Su definición de la multiplicación se ve un poco extraño para mí. Yo prefiero escribir $k = ij = -ji$. Esto implica sus relaciones; como Arturo muestra en su comentario a continuación, sus relaciones implican también la mía, pero a mi mente es una especie de mezcla de dos diferentes formas para darle un $R$-álgebra: se podría dar ya sea a través de generadores y relaciones, o si es una $R$-módulo usted puede dar un explícito de la base y la estructura de las constantes.)

Si $R$ es un campo de características diferentes de$2$, $H(R)$ es, por definición, el álgebra de cuaterniones $\left( \frac{-1,-1}{R} \right)$. En general, para $a,b \in R^{\times}$, el álgebra de cuaterniones

$\left( \frac{a,b}{R} \right) = R\langle i,j \rangle/(i^2 = a, j^2 = b, ji = -ij)$

de hecho es siempre una división de álgebra o isomorfo a $M_2(R)$: véase, por ejemplo, $\S 5.1$ de estas notas.

(Si $R$ es un campo de caracteres $2$, $H(R)$ es un anillo conmutativo, por lo que no es lo que quieres. Hay análogos de álgebras de cuaterniones en el carácter $2$ definidos de manera ligeramente distinta.)

Si $R$ es un dominio, entonces el centro de la $H(R)$$R$. De ello se sigue que si $R$, no es un campo, $H(R)$ no es un anillo de división. Tenga en cuenta también que si $R \subset S$ es una extensión de los dominios,$H(S) \cong H(R) \otimes_R S$.

En particular, $H(\mathbb{Z})$ no es un anillo de división. Tampoco es isomorfo a $M_2(\mathbb{Z})$: si es así, entonces $H(\mathbb{\mathbb{R}})$ sería isomorfo a $M_2(\mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} \cong M_2(\mathbb{R})$, pero $H(\mathbb{R}) = \left( \frac{-1,-1}{\mathbb{R}}\right)$ es la clásica cuaterniones de Hamilton, que es bien conocido por ser un anillo de división.

En general, si $R$ es un dominio de carácter diferente de $2$ con fracción de campo $K$, $H(R)$ es un orden en el álgebra de cuaterniones $H(K)$. Esta es una definición más que cualquier otra cosa, pero se le da un nombre. Existe una vasta literatura sobre cuaterniones órdenes: por un poquito, ver, por ejemplo, estas notas.