Centro de Masa y Centroide

Question

Encuentra el centroide de la región que se encuentra entre las gráficas de las funciones $y=\sin x$ y $y=\cos x$ en el intervalo $[0,\frac\pi4]$.

Enfoqué la pregunta de la siguiente manera:

1. Encuentra el $M$ $$M = \int_0^{\tfrac\pi4}(\sin x-\cos x)\,dx = 1-\sqrt2$$
2. Encuentra el $M$ de $y$ $$M_y = \int_0^{\tfrac\pi4}x(\sin x-\cos x)\,dx = 1-\frac{\pi}{2\sqrt2}$$
3. Encuentra el $M$ de $x$ $$M_x = \int_0^{\tfrac\pi4}\frac12(\sin x-\cos x)^2\,dx = \frac18(\pi-2)$$
4. El centro de masas en $y = M_x/M$ y el centro de masas en $x = M_y/M$ $$y = \frac{\dfrac18(\pi-2)}{1-\sqrt2},x = \frac{1-\dfrac{\pi}{2\sqrt2}}{1-\sqrt2}$$

Agradezco la ayuda! Gracias por los comentarios.

Answer 1

Ver la imagen a continuación.

Como se puede ver, $\cos x$ está por encima de $\sin x$ o $\cos x>\sin x$ para $\left[0,\dfrac\pi4\right]$. Por lo tanto, $$ \begin{align} M&=\int_0^\frac\pi4(\cos x-\sin x)\ dx=\sqrt{2}-1,\\\\ M_y&=\int_0^\frac\pi4x(\cos x-\sin x)\ dx=\frac14(\sqrt{2}\pi-4),\quad\Rightarrow\quad\text{usar IBP} \end{align} $$ y $$ \begin{align} M_x&=\frac12\int_0^\frac\pi4(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)\ dx\\ &=\frac12\int_0^\frac\pi4(\cos^2 x-\sin^2 x)\ dx\\ &=\frac12\int_0^\frac\pi4\cos2x\ dx\\ &=\frac14. \end{align} $$ Creo que puedes manejarlo a partir de aquí. Espero que esto ayude.

Answer 2

Como referencia. El centroide $(x_c,y_c)$ de una región delimitada por $f(x)$ y $g(x)$ y con $x\in [a,b]$ se define como $$ x_c = \frac{1}{A} \int_a^b x[f(x)-g(x)]dx $$ y $$ y_c = \frac{1}{A} \int_a^b x[f(x)-g(x)][f(x)+g(x)]/2dx $$ donde $A$ es el área de la región... Referencia: http://en.wikipedia.org/wiki/Centroid Por lo tanto, necesitas calcular las dos integrales para obtener el centroide usando tu función.

como @Andre_Nicolas ha dicho, en la región $\cos(x) > \sin(x)$.