Secuencia que se acerca a enteros

Question

Me estoy refiriendo a una respuesta publicada en Matemáticas de Desbordamiento (ver el post por fedja en http://mathoverflow.net/questions/59115/a-set-for-which-it-is-hard-to-determine-whether-or-not-it-is-countable)

La pregunta es si el conjunto de los números reales $a > 1$, de modo que para $K > 0$ la distancia entre el$K a^n$, y el entero más cercano enfoques $0$ $n \to \infty$ es contable.

Los enteros son, obviamente, en ese conjunto. Sin embargo yo no podía llegar con una prueba de que para todos los otros reales el límite no existe.

Answer 1

Para la integral K cualquier Pisot-Vijayaraghavan número va a hacer el truco (Qiaochu da un ejemplo de uno en los comentarios) - y hay un montón de estos, aunque countably muchos. No obstante, estos son buenos ejemplos de cómo arbitrario no enteros puede satisfacer a su condición.

Un no-terriblemente complicada prueba del hecho de que cualquier PV número que satisface su condición de $K = 1$ es como sigue. Considere la posibilidad de un PV número $\alpha$ y su mínimo polinomio p (en $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$). Vamos a las raíces de p se $\alpha = x_1, x_2, \cdots, x_k$. Por el teorema fundamental de los polinomios simétricos, sabemos que la expresión de $P_n = x_1^n + x_2^n + \cdots + x_k^n$ es una integral combinación lineal de los polinomios simétricos en $x_1, x_2, \cdots, x_k$ - que, por Vieta fórmulas, son simplemente los coeficientes de p (como el polinomio mínimo es monic). Como p tiene coeficientes enteros, $P_n = x_1^n + x_2^n + \cdots + x_k^n$ es un número entero para todo n. Como $\alpha$ es un PV-número, sabemos que $|x_2|, |x_3|, \cdots, |x_k| < 1$. Así que tenemos para la gran n que $|P_n - \alpha^n| < |x_2|^n + |x_3|^n + \cdots + |x_k|^n << 1,$, $P_n - \alpha^n \rightarrow 0$ como se desee.

Esta prueba va a trabajar para cualquier entero K - no-entero K, a menos que me estoy perdiendo algo obvio (que podría muy bien ser el caso) este es un poco más difícil. Usted puede ser capaz de utilizar un buen truco para conseguir racionales, pero sospecho que irrationals son un verdadero dolor de cabeza.

Answer 2

He aquí un método de generar el conjunto de los números describe de una manera que pone de manifiesto que es contable (para mirar de lejos si usted está tomando Fedja difícil ver cómo rápidamente usted puede probarlo!).

Supongamos que la distancia entre $Ka^n$ y el entero más cercano tiende a cero. Luego, dejando $u_n$ ser el entero más cercano a $Ka^n$, usted tiene $a=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$. También, $Ka^n-u_n\to0$$u_n\to\infty$$n\to\infty$.

A continuación, $u_{n+2}-u_{n+1}^2/u_n\to0$. Esto significa que, por lo suficientemente grande como $n$, $$ u_{n+2}={\rm más cercana\ entero\ a\ }\frac{u_{n+1}^2}{u_n}. $$ La sustitución de $K$ $Ka^m$ de las grandes suficientemente $m$, esto se puede suponer que la mantenga para todos los $n\ge0$. Así, tenemos una relación de recurrencia de generación de la secuencia completa de una vez $u_0,u_1$ se dan, y nos permite calcular el $a=\lim_{n\to\infty}u_{n+1}/u_n$. Por lo tanto, cada elemento del conjunto es determinado por un par de enteros positivos $\{u_0 < u_1\}$, por lo que es contable.