Imagen de escaleras

Question

Yo no soy un matemático por cualquier tramo, pero tiene este mundo real problema que necesito ayuda.

Así que imaginen un conjunto de pasos que tienen una banda de rodadura longitud de 12" y una altura vertical de 6". Hay 30 pasos en total.

Su cincuenta pies de distancia de los pasos y se imprime una imagen de gran tamaño, tales como su cara. Se corta en tiras y se aplican a cada elevador para formar un gran retrato, desde su punto de vista. Te das cuenta de que los bordes se ven bastante irregular, ya que se mueve de nuevo 12" en cada paso. La solución sería aumentar el tamaño de cada una de las tiras por una cantidad determinada a hacer que los bordes de la línea de la cara para crear la ilusión de su 50' punto de vista.

Pensé que sería un porcentaje estándar del paso a paso pero cuando voy a trabajar no funciona simplemente por desgracia. Mi creencia inicial fue imprimir el primer paso en decir el 100%. El segundo en 106%, y el de cada una de las tiras aumentaría el 106% de la anterior, todo el camino hasta el borde coincidente. Cuando me la sacó de la imagen consiguieron progresivamente mayores a medida que subía cada paso.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias

Grant

Answer 1

Las tiras están a 50 pies de distancia más $n$ veces 12 pulgadas (a partir de $n=0$). La escala de paso $n$ por lo tanto debe ser proporcional a $\frac1{50+n}$, $\frac{5000}{50+n}\%$ $n$ de paso (si no me equivoco que un pie equivale a 12 pulgadas).

Answer 2

La escala (blow-up factor) en cada punto es proporcional a la distancia desde el visor. Para una buena aproximación, se puede utilizar la distancia desde el ojo hasta la parte superior de la vertical (por simplicidad).

Deje $\ell$ ser la longitud de la huella, $h$ la altura vertical, $e$ la altura por encima del suelo, y $x + \ell$ la distancia horizontal desde el ojo hasta la base de la primera escalera. He elegido el nombre de las cosas de este modo, en la cual nos imaginamos un "$0$th de la escalera" que se extiende sobre el suelo a una distancia de $\ell$, para hacer fórmulas más simples.

Entonces, la distancia desde el ojo hasta la esquina de la $n$th escalera es $$ d_n = \sqrt{(x + n \ell)^2 + (e - n h)^2}, $$ y, entonces, el factor de escala (en comparación con el primer escalón) es $$ s_n = \frac{d_n}{d_1} = \frac{\sqrt{(x + n \ell)^2 + (e - n h)^2}}{\sqrt{(x + \ell)^2 + (e - h)^2}} = \sqrt{\frac{(x + n \ell)^2 + (e - n h)^2}{(x + \ell)^2 + (e - h)^2}}. $$

Con sus números, suponiendo eyeheight es $5$ pies: $(\ell = 1, h = 0.5, e = 5, x = 49.5)$, la escala absoluta de la $n$th escalera obras a $$ s_n = \sqrt{\frac{9901 + 376n + 5n^2}{10282}}. $$

He aquí una tabla de estos números. La escala relativa de la columna indica el factor por el cual la escala de cada paso de la anterior. $$ \begin{array}{lll} n & \textrm{abs. scale} & \textrm{rel. scale} \\ \hline 1 & 1. & \text{} \\ 2 & 1.01884 & 1.01884 \\ 3 & 1.0378 & 1.01861 \\ 4 & 1.05688 & 1.01839 \\ 5 & 1.07608 & 1.01816 \\ 6 & 1.09538 & 1.01794 \\ 7 & 1.11479 & 1.01772 \\ 8 & 1.13429 & 1.01749 \\ 9 & 1.15389 & 1.01727 \\ 10 & 1.17357 & 1.01706 \\ 11 & 1.19333 & 1.01684 \\ 12 & 1.21318 & 1.01663 \\ 13 & 1.23309 & 1.01642 \\ 14 & 1.25308 & 1.01621 \\ 15 & 1.27314 & 1.01601 \\ 16 & 1.29327 & 1.01581 \\ 17 & 1.31345 & 1.01561 \\ 18 & 1.33369 & 1.01541 \\ 19 & 1.35399 & 1.01522 \\ 20 & 1.37435 & 1.01503 \\ 21 & 1.39475 & 1.01485 \\ 22 & 1.41521 & 1.01467 \\ 23 & 1.43571 & 1.01449 \\ 24 & 1.45626 & 1.01431 \\ 25 & 1.47685 & 1.01414 \\ 26 & 1.49749 & 1.01397 \\ 27 & 1.51816 & 1.01381 \\ 28 & 1.53887 & 1.01364 \\ 29 & 1.55962 & 1.01348 \\ 30 & 1.5804 & 1.01333 \end{array} $$