Relación entre el valor de la zeta y género de modular curva

Question

Esta pregunta es algo vaga, por lo que no me importa una respuesta vaga.

Tenemos la fórmula de valor especial

$\zeta(-1)=-B_2/2 = -1/12$,

donde $\zeta$ es la función del zeta de Riemann. También, el "género" de la curva modular nivel 1 $X(1)$ es $1/12$, donde el género se entiende en el sentido de orbifolds. ¿Esto es sólo una coincidencia numérica, o hay un fenómeno subyacente más profundo?

Answer 1

Una forma de interpretar este resultado, creo, es como un cálculo del número de Tamagawa. Más precisamente, para el grupo algebraico semisimple simplemente conectado $SL_2$, el número de Tamagawa es famosa igual a $1$. Si se intenta calcular lo que esto significa en términos clásicos, se encuentra una relación entre el volumen (y por lo tanto, de Gauss - Bonnet, el género) de $X(1)$ y un $\zeta$-valor, que será la relación que está preguntando.