¿Hay una razón por qué el subconjunto de nuestro espacio de Hilbert que corresponde a una partícula es un subespacio vectorial?

Question

Estoy tratando de ganar algo de intuición detrás de la definición que los estados de una partícula es una irreductible unitaria representación del restringido grupo de Poincaré (o más específicamente, su doble cubierta).

Digamos que tengo algo de espacio de Hilbert de los estados y a priori no hay una definición de lo que es una partícula. A continuación decido a definir una partícula como un subconjunto del espacio de Hilbert cuyos elementos son imperceptibles para un observador en virtud de cualquier transformación de Poincaré, él puede hacer. Hay algo que dice que este subconjunto es un espacio vectorial? Si acepto que proyectiva de Hilbert espacios son la cosa real que nos interesa, entonces tiene sentido múltiplos escalares también debe estar en el subconjunto. Estoy más confundido acerca el cierre de la adición.

Supongo que esto probablemente tiene que ver con la estructura general de cualquier cuántica, la teoría que afirma que la verdadera-falsa declaraciones no corresponden a los subconjuntos de Borel, pero a cerrado subespacios lineales. Yo podría continuar con mi pregunta, a continuación, pedir, teniendo en cuenta que nuestro sistema cuántico es cierto-declaraciones falsas no forman un álgebra de boole, ¿cuáles son los hechos experimentales que fuerza la alternativa de utilizar cerrado subespacios lineales.

Answer 1

Creo que se puede entender la instrucción si considera que una formulación más general de un sistema cuántico, y los estados, en términos de $C^*$-álgebras.

Dado un $C^*$-álgebra (por ejemplo, el grupo de álgebra del grupo de Poincaré), entonces usted puede construir una $*$-representación de él en algún espacio de Hilbert por el Gelfand-Naimark-Segal de la construcción (que en realidad existe es una $*$-isomorfismo entre cualquiera de las $C^*$ álgebra y álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert).

Los estados cuánticos se define como la lineal positiva funcionales de una norma en la $C^*$-álgebra. Como también hay un $1-1$ correspondencia entre la no-degenerada $*$-representaciones de la $C^*$ grupo de álgebra (de un localmente compacto grupo) y el fuertemente continuo unitario de representaciones de el grupo en sí mismo, verá que el lineal funcionales de la $C^*$ Poincaré álgebra corresponden a los estados de cualquier representación irreducible del grupo de Poincaré.

La estructura del espacio de estados es heredado de la estructura de la $C^*$-álgebra, ya que es un subconjunto de la topológico doble (se puede considerar muchas topologías en él, y es un conjunto convexo). En particular, la estructura de espacio vectorial es naturalmente definido, pero sólo convexo de la suma de dos estados es de nuevo un estado, debido a la norma de una condición.

Answer 2

Creo que Wigner la cinemática de la definición de las partículas está fuertemente inspirado por los resultados de la teoría de la representación de la especial del grupo de Poincaré $P=SL(2,\mathbb C)\ltimes\mathbb R^4$. Resulta que este grupo es de tipo I, y por lo tanto cada representación de $P$ se descompone en una suma directa/integral de representaciones irreducibles. Esto es generalmente cierto para grupos compactos (ver Peter-Weyl teorema), pero no en general para los no-grupos compactos, y $P$ es conocido localmente compacto, no compacto. Por lo tanto, uno puede limitar el análisis de las representaciones de $P$ a sólo el irreductible. Por Schur del lema, el centro de tales representaciones contiene sólo múltiplos de la identidad. Ejemplos de este tipo de operadores son los operadores de Casimir $p^\mu p_\mu$ $W_\mu W^\mu$ donde $p^\mu$ es el 4-impulso del operador y $W^\mu$ es la Pauli-Lubanski pseudovector. Ya que conmuta con todo en la representación, y que se auto-adjunto, no son números reales $m$ $j$ tal que $p_\mu p^\mu = m^2I$$W_\mu W^\mu = j^2I$. Estos dos números han sido interpretadas por Wigner como la masa de una partícula y su spin (aquí la definición de partícula es puramente cinemática, en el sentido de la incluso de un estado de limitada partículas, como un átomo, es considerado como una partícula).

Dado ahora una representación genérica del grupo $P$ en algunas de espacio de Hilbert $H$, uno tiene una descomposición de la $H$ en subespacios invariantes (debido a $P$ es de tipo I), que pueden ser indexados por los pares de $(m,j)$ y una posible multiplicidad, y parece bastante natural para interpretar cada uno de estos subespacios, como aquellos asociados a los estados de las partículas con masa $m$ y spin $j$.