El paso clave en Kontsevich de la prueba de deformación de la cuantización de Poisson colectores es el llamado formalidad teorema de donde 'formal complejo' significa que se admite una cierta condición. Me pregunto por qué se llama 'formal'. Sólo he encontrado la definición de Sullivan en la Wikipedia: "formal colector es uno cuyo verdadero homotopy es un tipo formal consecuencia de su real cohomology anillo'. Pero todavía estoy confundido porque la mayoría de los artículos que he encontrado contienen la misma frase sólo y no entiendo el significado de 'formal consecuencia'. ¿Alguien sabe la historia de este concepto?
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Me imagino que la terminología que se remonta a la obra de Sullivan y Quillen racional de homotopy teoría. Probablemente, usted debe también mirar el papel de Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan en el real homotopy teoría de Kähler colectores. En realidad, creo que al menos cierta familiaridad con las DGMS papel es un requisito previo importante para la comprensión de muchos de Kontsevich de los papeles.
No estoy completamente seguro, pero creo que las definiciones son como sigue:
Un diferencial graduada álgebra $(a,d)$ es llamado formal si es cuasi-isomorfo (en general, si trabajamos en la categoría de dg de álgebras y no, digamos, en la categoría de-infinito álgebras, necesitamos un "zig-zag" de cuasi-isomorphisms) $H^\ast(a,d)$ considerarse como una dirección general de álgebra con cero diferencial.
Un espacio X es llamado formal (sobre los racionales resp. los reales) si su cochain dg álgebra $C^\ast(X)$ (con rational resp. coeficientes reales) con el estándar diferencial es una forma de dg de álgebra.
Una de las cosas que no estoy seguro es si en la definición debemos exigir $H^\ast(a,d)$ a ser conmutativa; pero para espacios este no es un problema ya que $H^\ast(X)$ es siempre (gradual)conmutativa.
Las DGMS artículo se demuestra que si X es un compacto de Kähler colector, luego el de Rham dg álgebra consiste en (real, $C^\infty$) formas diferenciales en X con el estándar de de Rham diferencial es una forma de dg de álgebra.
La frase "la real (resp. racional) homotopy tipo de X es formal consecuencia de la real (resp. racional) cohomology anillo de X", que aparece en, por ejemplo, las DGMS papel, simplemente significa que el real (resp. racional) homotopy teoría de la X está determinado por (y es, probablemente, de forma explícita y mediante algoritmos computable?) el cohomology anillo de X. En otras palabras, si X e y son formales (sobre los racionales resp. los reales) y han isomorfo (racional resp. real) cohomology de los anillos, a continuación, sus respectivos (racional resp. real) homotopy teorías son el mismo (y son explícitamente computable, si sabemos que el cohomology anillo(s)?). Por ejemplo, las filas de su homotopy grupos serán iguales.
En realidad no estoy totalmente seguro de si lo que he dicho en el último párrafo es cierto. Creo que es verdadera cuando X y y son simplemente conectado. No estoy seguro acerca de lo que sucede en general.
En el contexto de la racional homotopy teoría, yo creo que el término "formal" está bien, por las razones que he explicado anteriormente. Tal vez en el contexto más general de la dg de álgebras, el uso del término "formal" tiene menos sentido. Sin embargo, creo que todavía es pertinente, por las siguientes razones. Me deja usar el más "moderno" lenguaje de la A-infinito álgebras. En general, no es cierto que un dg álgebra $(a,d)$ es cuasi-isomorfo a $H^\ast(a,d)$ considerarse como una dirección general de álgebra con cero diferencial. Sin embargo, es un "estándar" de hecho (Kontsevich-Soibelman llamar a esto el "homológica perturbación lexema" (por ejemplo, es enterrado en algún lugar de este documento), y se puede encontrar en la operads la literatura como la "transferencia teorema") que usted puede poner Un infinito estructura en $H^\ast(a,d)$ lo que hace que $A$ y $H^\ast(a,d)$ cuasi-isomorfo como-infinito álgebras. La a-infinito estructura se manifiesta como una serie de $$n-ary productos que satisfagan diferentes compatibilidades. Intuitivamente, al menos, estos $$n-ary productos debe ser considerado como análogo a Massey productos en la topología. Por lo que $H^\ast(a,d)$ con este infinito estructura llevar a algunos "homotopy teórica" de la información. En este lenguaje, entonces, una dirección general de álgebra $(a,d)$ es formal si es cuasi-isomorfo, como Un infinito álgebra, $H^\ast(a,d)$ con todos los más altos productos de cero. En otras palabras, todos los de la "Massey productos" desaparecer*, y por lo tanto la única "homotopy teórico" la información es la que proviene de la ordinaria de la estructura de anillo en $H^\ast(a,d)$.
*Don Stanley observa correctamente que la desaparición de Massey productos es más débil que una formalidad. Sin embargo, creo que la trivialidad de la a-infinito estructura es equivalente a la formalidad. En el lenguaje de las DGMS de papel, que no utiliza la a-infinito del lenguaje, dicen que la formalidad es equivalente a la fuga de Massey productos "de una manera uniforme". Creo que este uniforme de fuga es la misma que la trivialidad de Una infinidad de estructura. A partir de la ponencia:
... un modelo mínimo es formal consecuencia de su cohomology anillo de si, y sólo si, todos los de orden superior de los productos desaparecen de manera uniforme.
y también
[La elección de un cuasi-isomorfismo de un mínimo de un dg álgebra a su cohomology] es una manera de decir que uno puede hacer uniforme de opciones de modo que las formas de representación de todos los productos de Massey y de orden superior Massey productos son exactas. Esto es más fuerte que la necesidad de que cada individuo Massey producto o de orden superior Massey producto a desaparecer. Esto último significa que, dado un producto, las opciones pueden ser hechos para hacer la forma de representación es exacto, y no hay manera de hacer esto de manera uniforme.
(Lo siento por la proliferación de los paréntesis, y lo siento por mi falta de certeza en todo esto, no he pensado acerca de esto en un rato. La gente debería definitivamente me corrija si estoy equivocado en esto.)
Michael Gorsuch
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Parafraseando a Groucho Marx: si no te gusta mi primera respuesta..., bueno, tengo otro. :-)
Aquí está: dejar que $X$ ser simplemente conectado variedad diferenciable.
Racional homotopy la teoría nos dice que el racional homotopy tipo de $X$ (es decir, su homotopy tipo de módulo de torsión), está contenida en su modelo mínimo, $M_X$, que es un conmutativa diferencial graduada (cdg) álgebra.
Por definición, esto significa que usted tiene una cuasi-isomorfismo (quis, una de morfismos de charles de gaulle de álgebras de inducción de un isomorfismo en cohomology)
$$ M_X \longrightarrow \Omega^*(X) \ . $$
Aquí, $\Omega^* (X)$ es el álgebra de formas diferenciales de $X$ y el minimality de $M_X$ significa que, en cierto, pero precisa, de sentido, es el más pequeño cdg álgebra para los cuales quis existe.
El hecho de que $M_X$ contiene el racional homotopy tipo de $X$ implica, por ejemplo, que usted puede obtener las filas de la homotopy grupos de $X$ de ella:
rango de $\pi_n(X) =$ número de grado n generadores (como un álgebra) de $M_X$ para $n \geq 2$.
Bonito, ¿no? :-)
El problema es que el álgebra $\Omega^*(X)$ es, en general, no computables, por lo que no puede obtener de ella el modelo de un mínimo de $M_X$. Y aquí es donde la formalidad viene a ayudarle.
Casi por definición, $X$ es una formales espacio si existe dos quis
$$ \Omega^*(X) \longleftarrow M_X \longrightarrow H^*(X;\mathbb{Q}) $$
Por lo tanto, si $X$ es formal, usted puede calcular su modelo de un mínimo de $M_X$, y por lo tanto su racional homotopy tipo, directamente desde el cohomology álgebra $H^*(X; \mathbb{Q})$, que es más bonito (más pequeño, más computable) de $\Omega^*(X)$.
Y el punto final es que hay un montón de ejemplos de espacios que son conocidos para ser formal.
(Observación Final: en Realidad, tendrías que poner $A_{PL}^*(X;\mathbb{Q})$ en vez de $\Omega^*(X)$ para trabajar sobre los racionales, pero este se puede encontrar una explicación en las referencias que hemos proporcionado para usted.)
Kevin Colby
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Formal puede significar cosas ligeramente diferentes en contextos diferentes.
Un conmutativa diferencial graduada de álgebra (CDGA) es formal si es cuasi-isomorfo a la homología. Esto es más fuerte que la de tener todos los mayores productos de Massey igual a 0 (Creo que hay ejemplos en la Halperin-Stasheff de papel).
Un espacio puede asociar una CDGA (a través de Sullivan $A_{pl}$ functor) que es básicamente el deRham complejo cuando el espacio es un colector. En niza de los casos este functor induce una equivalencia de la racional homotopy categoría a la homotopy categoría de CDGA. Cuasi-isormorphic CDGA corresponden (racionalmente) homotopy espacios equivalentes. También puede tensor con los reales para conseguir el verdadero CDGA.
Si a es Un CDGA que es cuasi-isomorfo a $A_{pl}(X)$ para un espacio de $X$, a es a menudo se llama un modelo de X. Un espacio formal si $A_{pl}$ de es formal. Así que un espacio formal es modelada por su cohomology. En ese sentido, su racional homotopy es un tipo formal consecuencia de su cohomology.
Yo creo que hay que ser un poco cuidadoso con el uso de $C^*$. Este functor tierras en diferencial graduada de álgebra que no son conmutativos, por lo que posiblemente la noción de la formalidad podría ser diferente. En particular, si se consideran dos CDGA no puede ser más cadenas de cuasi-isomorphisms entre ellos como DGAs, a continuación, como CDGAs. Creo se desconoce si los dos CDGA que son cuasi-isomorfo como la DGA tiene que ser cuasi-isomorfo como CDGA.
Michael Gorsuch
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Tal vez usted podría echar un vistazo a
Y. Félix, J. Oprea, D. Tanré; Algebraica de los modelos en la Geometría, Graduado de Oxford Texto en Matemáticas. 17 (2008)
donde hablan de formalidad en el contexto de la racional homotopy teoría, RHT (por ejemplo, en las secciones 2.7 y 3.1.4). También la más clásica, pero excelente libro
D. Lehmann; Théorie homotopique des formes différentielles, Astérisque 45
vale la pena leer (sección V. 9).
Como por la formalidad en el contexto de operads, permítanme un poco de auto-promoción :-) :
F. Guillén, V. Navarro, P. Pascual, Agustí Roig, Módulos de espacios formales e operads; el Duque de Matemáticas. J. 129, 2 (2005).
En este trabajo, podemos traducir algunos resultados clásicos sobre la formalidad en RHT a la cadena de operads. Por ejemplo, el Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan teorema sobre la formalidad de Kähler colectores, la formalidad de la independencia de la tierra de campo... Y extenderlas también a modular operads.
