Para la tranquilidad en algún momento he estado trabajando en una idea de la mía:
Base
Definimos la siguiente base: $$ A_n= ( \underbrace{00000\ldots}_{n-1\text{ times}} 1 )^T $$
Por lo tanto,
$$ A_1 =(111111 \ldots )^T $$ $$ A_2 = (010101 \ldots)^T $$ $$ A_3 = (001001 \ldots)^T $$ Para probar que es un completa de la base de que hemos de probar:
$$ \sum_{i=1}^\infty a_i A_i = C $$
donde $ a_ i$ son coeffiencts y $ C $ es un vector arbitrario.
Hacemos un mapa de este a un ploynomial y escribir explícitamente como:
$$ a_1(x+x^2+x^3+\cdots) $$ $$ + $$ $$ a_2(x^2 + x^4 + x^6+ \cdots ) $$ $$ + $$ $$ \vdots $$ $$ = c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots$$
Si definimos: $$ k(x)= a_1 x + a_2 x^2 + \cdots $$
Obtenemos: $$ k(x) + k(x^2) + \cdots = c(x) $$
Tomamos nota mediante la comparación de los coeficientes de $x^n$:
$$ c_n = \sum_{d\mid n} a_d $$
Aplicación para la Integración
Considere la posibilidad de una integral tal que $$ \int_0^\infty f(x) \, dx = C,$$where, $f(x)$ es una suave y continua de la función y converge absolutamente.
Ahora nos elevamos ambos lados de la potencia s:
$$\left(\int_0^\infty f(x) \, dx\right)^s = C^s $$
Sustituimos $x$ $rx$ para obtener:
$$\left(\int_0^\infty f(rx) \, dx\right)^s = (C/r)^s $$
Multiplicando ambos lados por un coeficiente arbitrario:
$$ (a_r)\left(\int_0^\infty f(rx) \, dx\right)^s = (a_r)( C/r)^s $$
Tomando la suma de los mismos:
$$ \sum_{r=1}^\infty a_r \left(\int_0^\infty f(rx) \, dx\right)^s = C^s \sum_{r=1}^\infty \frac{a_r}{r^s} $$
Podemos escribir la integral como límite de una suma:
$$ \sum_{r=1}^\infty \lim_{n \to \infty} \lim_{h \to 0}\ a_r \left( \sum_{x=1}^n f(hrx) h\right)^s = C^s \sum_{r=1}^\infty \frac{a_r}{r^s} $$
$s=1$ Caso
$$ \sum_{r=1}^\infty \lim_{n \to \infty} \lim_{h \to 0}\ a_r \left( \sum_{x=1}^n f(hrx) h\right) = C \sum_{r=1}^\infty \frac{a_r} r $$
Para este caso se escribe la suma explícitamente:
$$ \lim_{h \to 0} a_1 h(f(h) + f(2h) + f(3h) +f(4h) + f(5h) + f(6h) + \cdots)$$ $$+$$ $$ \lim_{h \to 0} a_2 h(0.f(h) + f(2h) + 0.f(3h) +f(4h) + 0.f(5h) + f(6h) + \cdots)$$ $$+$$ $$ \vdots $$
Se observa una similitud notable entre los de arriba y:
$$a_1( 1 1 1 1 1 1 1 1\cdots)$$
$$+$$
$$a_2( 0 1 0 1 0 1 0 1\ldots)$$
$$+$$
$$ \vdots $$
Por lo tanto,
$$ \lim_{n \to \infty} \lim_{h \to 0} \left( \sum_{r=1}^n c_r f(hr) h\right) = C \sum_{r=1}^\infty \frac{a_r} r $$
Donde $$ c_r = \sum_{d\mid r} a_d $$
Preguntas
Ha esto ha sido descubierto? ¿Cómo puedo hacer mi trabajo de forma más rigurosa? ¿Hay alguna aplicación potencial de esta? Es posible determinar que los coeficientes son permitidos en la de volver a sumar?(Aplicaciones de la integración de la sección) Puede que estas ideas sean de alguna manera extendida?
Extra
Enlace (versión larga)-> https://www.dropbox.com/s/kmw4b49uj0q3bou/example.pdf?dl=0
P. S: soy sólo una física de pregrado
