comportamiento global de un sistema de EDO

Question

Consideremos el sistema de EDO $$ (x',y')=f(x,y) $$ donde $$ f(x,y)=((1-x/2-y/2)x,(-1/4+x/2)y) $$ en el primer cuadrante (abierto).

No es difícil demostrar que $z_0=(1/2,3/2)$ que es un equilibrio del sistema, es localmente un fregadero en espiral.

Utilizando Mathematica, se puede obtener

Sea $\phi_t(z) = (x(t),y(t))$ sea la solución del sistema con condición inicial $(x(0),y(0))=z$ en el primer cuadrante. De la figura se desprende que $$ \lim_{t\to\infty}\phi_t(z)=z_0 $$ para cada $z$ en el primer cuadrante.

¿Cómo se puede pruebe que esto es realmente cierto?

Answer 1

Este es un modelo tipo Lotka-Volterra: $$ \dot x=x(a-bx-cy),\\ \dot y=y(-d-ey+fx). $$ Aquí $a,b,c,d,e,f$ son parámetros no negativos. Sea $(\hat{x},\hat{y})$ sea el único equilibrio en el interior de $\mathbf R^2_+=\{(x,y)\in\mathbf R^2\colon x\geq 0,\,y\geq 0\}$ (es única porque las isoclinas son rectas y pueden intersecarse como máximo en un punto).

Considere $$ V(x,y)=f(\hat x\log x-x)+c(\hat y\log y-y) $$ y demostrar que es una función de tipo Lyapunov en $\mathbf R^2_+$ . En particular, demuestre que la derivada de $V$ a lo largo de las órbitas es negativa definida en todas partes en el interior de $\mathbf R^2_+$ excepto $(\hat{x},\hat{y})$ . Concluya, utilizando el principio de invariancia, que este equilibrio es globalmente estable asintóticamente en $\mathbf R^2_+$