Yo vagamente comprender la ecuación de continuidad (al menos en su forma integral), pero yo realmente no entiendo la forma diferencial de la ecuación de continuidad. Estoy teniendo problemas para entender cómo alternar entre las formas usando el teorema de la divergencia.
Respuesta
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La forma intuitiva de pensar en esto es considerar un gas dentro de un recipiente de vidrio (que no se puede expandir). Si el gas se expande, entonces ¿qué debe suceder como resultado? El gas se escapa del recipiente. Del mismo modo, si intento me pone más gas en el recipiente, luego el gas se comprime.
El campo de vectores $\mathbf F$ es lo que usamos para describir el flujo de un fluido. La divergencia de este campo describe la expansión o compresión de un gas. Lo que el teorema de la divergencia, dice, es que el total de la expansión (o de compresión) de los gases en algún volumen $V$ es igual al flujo del líquido hacia fuera (o dentro) de los límites (es decir, la cantidad de cosas es salir (o entrar) la superficie de $S$). Matemáticamente, esto es $$ \int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S $$ donde $\mathbf F\cdot d\mathbf S$ representa la cantidad normal a la superficie.
Así que para un volumen de masa $m$, el tiempo de la tasa de cambio de la masa es igual a la anterior (suponiendo que no hay otras fuentes de materia): $$ \frac{\partial m}{\partial t}=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S $$ que es nuestra parte integral de la formulación de la ecuación de continuidad.
Ya sabemos que $m=\int\rho\,dV$, el de arriba es $$ \frac{\partial}{\partial t}\int\rho\,dV=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S $$ Y desde espacial y temporal de coordenadas ortogonales, se pueden intercambiar para obtener $$ \int\frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S $$ Y por último, ya que el volumen es arbitrario, entonces la izquierda dos términos anteriores debe ser $$ \frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\mathbf F $$ que es nuestra forma diferencial de la ecuación de continuidad.
