Estaba tratando de hacer ese problema. Primero encontré que las raíces del polinomio son $e^{\frac{k\pi i}{8}}\sqrt{2}$ con $k=1,3,5,7,9,11,13,15$ . Entonces, digo que si $\sigma$ es un elemento del grupo de Galois, entonces $\sigma(e^{\frac{\pi i}{8}}\sqrt{2})=e^{\frac{k\pi i}{8}}\sqrt{2}$ para otra raíz. Entonces afirmo que esto determinará de manera única $\sigma$ desde $\sigma(e^{\frac{(2m+1)\pi i}{8}}\sqrt{2})=\frac{1}{2^m}\sigma((e^{\frac{\pi i}{8}}\sqrt{2})^{2m+1})$ y como podemos enviarlo a cualquier otra raíz entonces obtenemos que el grupo de Galois tiene $8$ elementos. Así que creo que desde que estamos mapeando $1$ en un número impar definido modulo $16$ entonces el grupo galois sería isomorfo a $(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times$ ?
Respuesta
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Estoy ampliando ligeramente su propio trabajo. Considera, como lo hiciste, $$ \alpha = \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} \cdot (\cos(\pi/8) + i \sin(\pi/8)). $$ Tenemos $\alpha^{8} = -16$ y por lo tanto $\alpha$ es una raíz de $f = x^8 + 16$ . Tenga en cuenta que $$\eta = \cos(\pi/8) + i \sin(\pi/8)$$ es una primitiva $16$ -raíz de la unidad, y que $$\sqrt{2} = (\eta + \eta^{-1})^2 - 2 = \eta^2 + \eta^{-2} \in \mathbf{Q}[\eta^2].$$
Además, $\dfrac{\alpha^2}{2} = \eta^{2}$ Así que $\eta^2 \in \mathbf{Q}[ \alpha ]$ . A continuación $$ \mathbf{Q}[ \sqrt{2} ] \subseteq \mathbf{Q}[ \eta^2 ] \subseteq \mathbf{Q}[\alpha] \subseteq \mathbf{Q}[ \eta ]. $$ Desde $\alpha/\sqrt{2} = \eta$ se deduce que $\mathbf{Q}[\alpha] = \mathbf{Q}[ \eta ]$ . En particular, $\mathbf{Q}[\alpha]$ es el campo de división de $f$ en $\mathbf{Q}$ .
Ahora bien, es bien sabido que $\lvert \mathbf{Q}[ \eta ] : \mathbf{Q} \rvert = \varphi(16) = 8$ para que $f$ es irreducible sobre $\mathbf{Q}$ y el grupo de Galois es isomorfo al grupo de unidades de $\mathbf{Z}_{16}$ y por tanto es isomorfo a $\mathbf{Z}_{4} \times \mathbf{Z}_{2}$ .
