Cuando conocí los anillos polinómicos $R[X]$ Me pregunté: "¿de dónde vienen?". Más tarde, la idea de que - si $R$ es conmutativo - podrían interpretarse como $R$ -algebras libres sobre un singleton trajo alivio. Pero, ¿y si $R$ es no ¿conmutativo? Entonces esta interpretación parece dejar de funcionar. Si $R$ no es conmutativo, entonces el libre sobre un singleton también exige elementos como (por ejemplo) $X^{n}a$ junto a los habituales $aX^{n}$ ¿No es así? ¿Hay otra interpretación para ellos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta es una gran pregunta. El "anillo libre sobre $R$ "en una variable en el entorno no conmutativo viene dado por $R * \mathbb{Z}[X]$ donde la "estrella" es el producto libre (= coproducto en la categoría de anillos). Es universal entre todos los anillos $S$ que están dotados de dos homomorfismos de anillo $R \to S$ y $\mathbb{Z}[X] \to S$ .
Por otro lado, el anillo $R[X]$ es isomorfo a $R \otimes \mathbb{Z}[X]$ . Es universal entre todos los anillos $S$ que están dotados de homomorfismos $f \colon R \to S$ y $g \colon \mathbb{Z}[X] \to S$ con la condición adicional de que sus imágenes se centralicen en $S$ (es decir, si $a = f(r)$ y $b = g(t)$ entonces $ab = ba$ en $S$ ).
Una forma de entender este anillo sería considerar sus módulos/representaciones. Un derecho $R[X]$ módulo $M$ tiene tanto derecho $R$ -acción y una $\mathbb{Z}[X]$ -(que podemos imaginar tanto a la derecha como a la izquierda, como $\mathbb{Z}[X]$ es conmutativo). La acción del elemento $X$ en $M$ se desplaza con el derecho $R$ -acción, por lo que $X$ de hecho actúa por un derecho $R$ -endomorfismo de módulo de $M$ . Por el contrario, si $M$ es cualquier derecho $R$ -módulo y $\phi$ es cualquier $R$ -endomorfismo de módulo de $M$ entonces tenemos un único $R[X]$ -estructura de módulo con el mismo $R$ -acción y con $X$ actuando a través de $\phi$ . Así que para resumir:
Un derecho $R[X]$ -módulo es un derecho $R$ -módulo equipado con un $R$ -endomorfismo.
(Por supuesto, la misma afirmación es válida para la izquierda $R[X]$ -).
Espero que esto le ayude a entender la distinción entre $R[X]$ y $R * \mathbb{Z}[X]$ así como el papel de $R[X]$ . Hágame saber si puedo aclarar algo de lo que he dicho arriba.
