Hay una menor ambigüedad en el término "integral de Riemann": tiende a ser utilizada tanto para Riemann, formulación original-que implica etiquetado particiones y requiere de la convergencia en un sentido muy fuerte: de manera uniforme en la malla (o norma) $||\mathcal{P}||$ de la partición $\mathcal{P}$ -- y también G. Darboux posterior de la simplificación en términos de superior e inferior de sumas y superior e inferior de las integrales, que es para la mayoría de propósitos técnicamente más fácil trabajar con y por lo tanto es la que es elaborado cuidadosamente en la mayoría de pregrado de textos.
La ambigüedad puede ser justificado por el hecho de la de Riemann y de Darboux teorías que otorgan a las diferentes descripciones de lo que en última instancia resulta ser la misma lineal funcional: función $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ es Riemann integrable si y sólo si es Darboux integrable (la parte más difícil de esto es mostrar que Darboux funciones son integrables Riemann integrable) y cuando se cumplen estas condiciones el asociado número real $\int_a^b f$ es el mismo. Para una cuidadosa exposición de la Darboux y las integrales de Riemann, incluyendo una comparación entre los dos, consulte el Capítulo 8 de estas notas.
Puedo traer a colación la distinción entre Darboux y Riemann porque es relevante a tu pregunta de acotamiento de la integral de funciones, y a causa de las dos respuestas útiles ya han dejado a esta pregunta, uno se dirige a la Darboux y otro caso la de Riemann caso. De cualquier manera, aunque los siguientes simple observación se encuentra en el corazón de la materia.
Para $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, los siguientes son equivalentes:
(i) $f$ está delimitado por encima (respectivamente, delimitada por debajo).
(ii) Para cualquier partición $\mathcal{P} = \{a= x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\}$, la restricción de $f$ a cada uno subinterval $[x_i,x_{i+1}]$ está delimitado por encima (respectivamente, delimitada por debajo).
Así que si $f$ es ilimitado arriba, a continuación, para cualquier partición $\mathcal{P}$, hay al menos una subinterval $[x_i,x_{i+1}]$ que $f$ es ilimitado anteriormente, por lo tanto la parte superior de la suma de la $\mathcal{U}(f,\mathcal{P})$ no existe como un número real, por lo que ni siquiera podemos definir la integral de Darboux. Alternativamente, si queremos trabajar en la prolongación de los números reales, podemos decir que si $f$ es ilimitado arriba, $\mathcal{U}(f,\mathcal{P}) = \infty$. Del mismo modo, si $f$ es ilimitado a continuación, $\mathcal{L}(f,\mathcal{P}) = -\infty$ c.f. La proposición 8.2 en los linked notes). Esto significa: si $f$ es ilimitado arriba, a continuación,$\overline{\int}_a^b f = \infty$, y si $f$ es no acotada por debajo, a continuación,$\underline{\int}_a^b f = -\infty$. Con esta ampliación de la definición podríamos definir una función para ser Darboux integrable si y sólo si sus superiores e inferiores de las integrales son tanto finito y son iguales, así que podemos ver que Darboux integrable funciones están delimitadas.
Para la integral de Riemann no es un argumento similar: si $f$ es ilimitado arriba, entonces no importa qué partición que elegir, entonces, para cualquier $M > 0$ habrá un marcado $\tau$ -- es decir, una selección de puntos de muestreo $x_i^* \in [x_i,x_{i+1}]$ tales que la suma de Riemann $R(f,\mathcal{P},\tau) = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i^*)(x_{i+1}-x_i)$ es mayor que $M$. Este es un buen ejercicio: la idea es utilizar la observación anterior y elegir uno subinterval $[x_i,x_{i+1}]$ que $f$ es ilimitado arriba, seleccione los puntos de muestreo en el otro subintervalos de manera arbitraria, y, a continuación, elija $x_i^* \in [x_i,x_{i+1}]$, de modo que $f(x_i^*)$ es lo suficientemente grande como para hacer que la totalidad de la suma de Riemann salir mayor que $M$. Así vemos que si $f$ es ilimitado por encima de él no puede ser de Riemann integrable (pero es definitivamente un resultado, no una definición, en este caso), y lo mismo si $f$ es ilimitado a continuación.
Para abordar el resto de tu pregunta: sí, cuando uno escribe "Riemann integrable" generalmente significa descuidar el caso de inadecuado de las integrales de Riemann, que por supuesto puede ser finito, incluso para algunos sin límites de funciones. Esto es cierto a pesar del hecho de que la misma notación $\int_a^b f$ es utilizado para las integrales de Riemann y impropia de Riemann integrales. En general, de todos modos: en un caso particular que usted debe comprobar para confirmar que la terminología que se utiliza en esta forma.
Añadido: La clase de Riemann-Darboux integrable funciones se caracterizó por Lebesgue (a pesar de mi colega Roy Smith me ha mostrado un pasaje de Riemann, el trabajo muestra que tenía el resultado).
Teorema (Lebesgue Criterio) Para una función de $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, los siguientes son equivalentes:
(i) $f$ es Riemann integrable.
(ii) $f$ es acotado, y el conjunto de discontinuidades de $f$ tiene medida cero.
Dado que este resultado fue publicado por primera vez en el siglo 20, uno puede deducir correctamente que no es realmente necesario en el desarrollo de la integral de Riemann. Desde una perspectiva pedagógica, preferiría tener a los estudiantes a aprender a usar menos pesadas herramientas con más destreza. No obstante, quiero dar una prueba en $\S$ 8.5 de mis notas , que no hace uso de ninguna teoría de la medida o, incluso, la teoría de los contables/incontables conjuntos. (La prueba, puesto que no es debido a mí; es tomado de las notas de A. R. Schep.)
Tenga en cuenta también que otra respuesta a esta pregunta contiene en la actualidad una declaración falsa de este resultado. La función característica de la clásica medio tercios conjunto de Cantor, muestra que "la medida cero" no puede ser reemplazado con "contable".
