Significado preciso de la composición de ket y el sujetador, por ejemplo, $|\psi\rangle\langle\psi|$

Question

Actualmente, estoy estudiando la densidad de las matrices, y han sido frecuentemente viene a través de la construcción

$$|\psi\rangle\langle\psi| \,.$$

¿Cuál es el significado formal de esta composición? Comprendo $\langle \psi|$ a ser un elemento del espacio dual (para que el vector de espacio para que $|\psi\rangle$ es un miembro) pero no entiendo muy bien lo que significa para ponerlos juntos.

He estado tratando a este objeto como un operador lineal sobre el espacio de ket vectores, y suponiendo una cierta asociatividad para su composición, de tal manera que

$$\bigg(|\psi\rangle \langle \psi|\bigg) |\phi\rangle = |\psi\rangle \bigg(\langle \psi|\phi\rangle \bigg) = \alpha |\psi\rangle \,,$$

pero hay una manera de hacer esto más formal? Gracias.

Answer 1

Es fácil. Suponga que $\psi \in \cal H$ es normalizado a $1$. En este caso, $|\psi\rangle\langle\psi|$ no es nada, pero el proyector ortogonal $P_\psi$ en el uno-dimensional espacio lineal generado por el vector $\psi$.

Poner a $|\psi\rangle$ $\langle\psi|$ juntos significa simplemente para explotar el producto tensor.

Si $\phi' \in \cal H'$ el (topológico) el espacio dual de $\cal H$$\psi \in \cal H$, es bien definidas $\psi \otimes \phi' \in \cal H \otimes \cal H'$ como un (limitado) lineal operador de$\cal H$$\cal H$.

Al $\psi' \in \cal H'$ es la imagen de $\psi \in \cal H$ bajo la Riesz' (anti)-isomorfismo que identifica a $\cal H$$\cal H'$, e $||\psi||=1$, $P_\psi :=\psi \otimes \psi' \in \cal H \otimes \cal H'$ es el proyector ortogonal sobre el subespacio cerrado generado por $\psi$. Otra forma de escribir es sólo $|\psi\rangle\langle\psi|$.

Answer 2

Le sugiero que piense en ello como esto: $$\left|\psi\right.\rangle = \left(\begin{array}{c}\psi_1\\\psi_2\\\cdots\\\psi_n\end{array}\right)\;,\qquad \langle\left.\psi\right| = \left(\begin{array}{c}\psi_1^*\,\psi_2^*\,\cdots\,\psi_n^*\end{array}\right) $$ Y utilizando el estándar de la regla ("cada elemento en la fila por cada elemento en la columna") para la multiplicación de la matriz. De esta manera se consigue: $$ \langle\left.\psi\right.\izquierda|\,\psi\right.\rangle = \left(\begin{array}{c}\psi_1^*\,\psi_2^*\,\cdots\,\psi_n^*\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_1\\\psi_2\\\cdots\\\psi_n\end{array}\right) =\left|\psi_1\right|^2 +\left|\psi_2\right|^2+\cdots+\left|\psi_n\right|^2 $$ Y para tu pregunta: $$ \left|\,\psi\right.\rangle \langle\left.\psi\right|= \left(\begin{array}{c}\psi_1\\\psi_2\\\cdots\\\psi_n\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\psi_1^*\,\psi_2^*\,\cdots\,\psi_n^*\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} \psi_1\psi_1^* & \psi_1\psi_2^* & \cdots & \psi_1\psi_n^*\\ \psi_2\psi_1^* & \psi_2\psi_2^* & \cdots & \psi_2\psi_n^*\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ \psi_n\psi_1^* & \psi_n\psi_2^* & \cdots & \psi_n\psi_n^*\\ \end{array}\right) $$