Determinación de cuándo desaparece una determinada suma binomial

Question

Considere la siguiente suma de coeficientes binomiales con signo: $$S_{n,a,p} = \sum_{i \equiv a \mod p} \binom{n}{i}(-1)^i$$

( $n$ es un número entero positivo, $p$ es un primo de impar, $a$ está entre $0$ y $p-1$ .)

Quiero entender cuando es cero, es decir, para cualquier valor de $p$ y $a$ para recibir el conjunto de $n$ para lo cual $S_{n,a,p} = 0$ . Tengo 4 observaciones:

1. Utilizando la función generadora $(1-x)^{n}$ se encuentra que $pS_{n,a,p} = \sum_{i=0}^{p-1} (1-\omega_{p}^{i})^{n} \omega_p^{-ia}$ , donde $\omega_p$ es una raíz primitiva de la unidad de orden $p$ , digamos que $e^{2 \pi i /p}$ . Esta criatura es en realidad el rastro de $(1-\omega_{p})^{n} \omega_p^{-a}$ como elemento de $\mathbb{Q}(\omega_p) / \mathbb{Q}$ .

2. Utilizando el Teorema de Lucas, es una manera técnica de demostrar que esta suma es divisible por $p$ cuando $n \ge p$ . Sospecho que tal vez considerándolo mod poderes superiores de $p$ ayudarán a resolver este problema, o tal vez incluso los métodos p-ádicos. Ecuación 1.12 aquí contiene una generalización de mi observación, y tiene una prueba corta y agradable .

3. Cuando $n=2a+pk$ donde $k$ es impar, la simetría $\binom{n}{i}=\binom{n}{n-i}$ muestra que $S_{n,a,p} = 0$ . Sospecho que este es el único caso.

4. Cuando $p=3$ , $S_{n,a,3}$ factores como $(1-\omega_3)^n \omega_{3}^{2a} (1+(-\omega_{3}^{2})^{n}\omega_{3}^{2a})$ y a partir de esta forma se puede demostrar que la tercera observación es válida.

No sé si la formulación algebraica ayuda.

EDITAR : La siguiente pregunta más específica también me interesa.

¿Tenemos $S_{n,0,p} \neq 0$ o $S_{n,1,p} \neq 0$ para cualquier $n$ y impar prime $p$ ? En otras palabras, resolver esto para $a=0,1$ me interesa.

Answer 1

Esto es bizarro, yo tengo un documento en el que trabajo durante días muy lluviosos sobre este tema. Lo que tienes es una diferencia de dos coeficientes binomiales periódicos de periodo $2p$ . Utilizo la notación

$$PC_q(n,r,k)=\sum_{j \in \mathbb Z} C_q(n,k+rj)$$

donde $C_q(n,k)$ denota el exponente de $x^k$ en $(1+x+\cdots+x^{q-1})^n$ . En su caso particular nos interesa la función hasta un cambio de signo

$$\Gamma_2(n,2p,p,k)=PC_2(n,2p,k)-PC_2(n,2p,k+p).$$ He demostrado el siguiente resultado, en un documento que puedo enviarte, aunque está en un estado aproximado. La función $\Gamma_q(n,r,j,k)$ es positivo en el intervalo

$$\left(\frac{N-r+j}{2},\frac{N+j}{2}\right)$$ si $q>1$ , $r>2(q-1)$ y $n\geq r/(q-1)+1$ donde $N=n(q-1)$ . La función $\Gamma_q(n,r,j,\cdot)$ es antisimétrica por lo que se deduce que es negativa en el intervalo $$\left(\frac{N+j}{2},\frac{N+j+r}{2}\right).$$ En su caso, para un tamaño suficientemente grande $n$ tendrás eso $\Gamma_2(n,2p,p,k)$ será cero si $(n+p)/2$ es un número entero y será cero sólo en los enteros congruentes a $(n+p)/2$ y $(n-p)/2$ .

Se comportan un poco mal cuando $n$ es menor que eso y acaba siendo cero la mayor parte del tiempo. El comportamiento se estabiliza a medida que $n$ crece por lo que he estado más preocupado por eso, pero tengo algunas notas sobre el comportamiento para los pequeños $n$ en alguna parte. La prueba de este resultado es bastante dolorosa, el punto principal es determinar cuando $PC_q(n,r,k)$ es creciente y decreciente a partir de la cual el $\Gamma_q$ el resultado se obtiene fácilmente.

Los coeficientes binomiales periódicos generalizados fueron estudiados por primera vez por Ramus [1], aunque sólo se ocupaba de los coeficientes binomiales, dio una forma cerrada. El siguiente trabajo sobre ellos vino de Hoggatt, que dio una fórmula para PC_q(n,r,k). Entonces mi asesor se topó con ellos porque la serie de Hilbert del anillo graduado asociado al anillo de funciones en $n$ variables sobre un campo finito de orden $q$ es $(1+x+\cdots+x^{q-1})^n$ . Así que aparecieron de forma natural mientras calculábamos las dimensiones de algunas homologías asociadas a ciertos elementos [3]. Para más referencias sobre los coeficientes binomiales generalizados se puede consultar el libro de Bondarenko [4].

Sin embargo, me interesa mucho saber en qué contexto los encontró.

Bibliografía - [2] y [4] pueden encontrarse en el sitio web de fibonacci quarterlies, [3] está disponible en el mío o en el de mis asesores.

[1] C. Ramus, Solution generale d'un probleme d'analyse combinatoire, J. Reine Ang. Matemáticas. 11 (1834), 352-55

2] V. E. Hoggatt, G. L. Alexanderson. Sumas de conjuntos de partición en triángulos de Pascal generalizados. I. Fibonacci Quart. 14 (1976), no. 2, 117-125

3] T. Hodges, J Schlather, El grado de regularidad de un polinomio cuadrático, Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 217, Issue 2, February 2013, Pages 207-217,2013

4] Bondarenko BA (1993) Generalized Pascal triangles and pyramids, their fractals, graphs and applications. Bollinger RC, traductor y editor. Santa Clara, California: The Fibonacci Association. 190 p.

Nota [2]: Por lo que sé, el segundo artículo que aparentemente pretendían escribir nunca se terminó. Como referencia, Hoggatt murió en 1980. Aunque Hoggatt tuvo un estudiante de posgrado que escribió una tesis de maestría sobre el tema, la consulté en un préstamo interbibliotecario pero no encontré nada útil en ella.