¿Por qué adjunto de la representación de la materia en algún campo de las teorías?

Question

Recientemente estoy leyendo un artículo acerca de los monopolos. En varios casos, parece que la escritura de los campos en adjoint representación del grupo gauge hace una diferencia.

Una vez que conduce a los diferentes grupo después de la ruptura de simetría cuando se utiliza otra representación. Y también me di cuenta de instrucción como esta, "Una importante pregunta abierta es si un análogo de Bogomolny monopolo de la masa obligado puede ser obtenida si el campo de Higgs no está en el adjunto de la representación."

Puede alguien amablemente a arrojar luz sobre este. Gracias!

Actualización: Yo creo que cualquier campo (campos EM en el espacio real o campo de Higgs en el interior isotópica espacio) en un cierto tipo de representación en el espacio de la simetría grupo asociado con el de Lagrange o de la acción. Este espacio también establece algunas restricciones en los campos, por ejemplo, específicos tensor o spinor estructuras (nada más???). Y lo que la representación del espacio se utiliza contiene física, es decir, tenemos que comprobar mediante experimentos. Tal vez esta pregunta se refiere a un caso particular. Tampoco hace explícita y concreta 2ª respuesta.

Es este entendimiento correcto?

Answer 1

No estoy seguro de si sé la respuesta correcta (como soy un estudiante de mi mismo), pero voy a intentar (y si estoy equivocado, por favor alguien me corrija).

La primera cosa que me tomó algún tiempo para averiguar qué es lo que significa adjunto de la representación. En Georgi del libro que define el medico adjunto de la representación de un generador como: \begin{equation} [T_i]_{jk} \equiv -if_{ijk} \end{equation} que es equivalente a la adjoint representación de una Mentira álgebra. Sin embargo, cuando se habla de monopolio, que en realidad significa el medico adjunto de la representación de una Mentira grupo . Esto significa que $\phi$ toma valores en el álgebra de la Mentira (el espacio vectorial formado por los generadores), y puede ser expresada en términos de los generadores en un arbitrario de la representación: \begin{equation} \phi = \phi^a t^a \end{equation} donde $t^a$ denotar los generadores en un arbitrario de la representación (y existe implícita una suma sobre índices repetidos).

Ahora, veamos el ejemplo más sencillo, que es el bosonic parte de la $\mathrm{SU(2)}$ invariante gauge Georgi-Glashow modelo: \begin{equation} \mathcal{L}=\frac{1}{8} \mathrm{Tr} (F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}) - \frac{1}{4} \mathrm{Tr}(D_\mu \phi D^\mu \phi) - \frac{\lambda}{4}(1-\phi^a \phi^a )^2 \end{equation} Podemos escribir la energía potencial y cinética, $T$$V$, como: \begin{equation} T=\int \left( - \frac{1}{4} \mathrm{Tr} (F_{0i}F_{0i}) - \frac{1}{4} \mathrm{Tr}(D_0 \phi D_0 \phi) \right) \mathrm{d^3}x \end{equation} y: \begin{equation} V=\int \left( - \frac{1}{8} \mathrm{Tr} (F_{ij}F_{ij}) - \frac{1}{4} \mathrm{Tr}(D_i \phi D_i \phi) + \frac{\lambda}{4}(1-\phi^a \phi^a )^2 \right) \mathrm{d^3}x \end{equation} donde se utilizó $L= \int \mathcal{L} \; \mathrm{d^3}x = T-V$. Con el fin de obtener energía finita de soluciones, tenemos que imponer las condiciones de contorno tal que la energía total de la modelo desaparecido en espacial el infinito. Debe ser claro que uno de los requisitos para asegurar que la energía se desvanece es: \begin{equation} \phi^a \phi^a =1 \end{equation} Esto implica que la partícula de Higgs, vacío corresponde a una infinita cantidad de degenerados vacío de valores que yacen en la superficie de una unidad de dos-esfera en el campo del espacio, que vamos a denotar por $S^2_1$. Además, mediante la imposición de la citada energía finita condición de frontera, esto da lugar al siguiente mapa: \begin{equation} \phi : S^2_\infty \to S^2_1 \end{equation} donde $S^2_\infty$ denota la dos-esfera espacial asociado con el infinito (en 3 dimensiones). Este es, de hecho, la definición de la liquidación número (o grado) entre dos dimensiones en las esferas y por lo tanto clasificados por $\pi_2(S^2)=\mathbb{Z}$ (y esto es en teoría posible construir solitones topológicos). Ahora, si $\phi$ fue en los fundamentales de la representación, pues no creo que es posible construir estos solitones topológicos.

Answer 2

Las teorías fundamentales de los quarks, que la experiencia espontánea de la simetría quiral romper:

$$ SU_L(N_f) \times SU_R(N_f) \rightarrow SU_A(N_f)$$

($N_f$ es el número de sabores)

(Este es el observado aproximada de la ruptura de la simetría en la naturaleza, de la que pions son aproximada de los bosones de Goldstone).

En contraste, las teorías con adjoint quarks la experiencia de la ruptura de la simetría quiral patrón:

$$ SU(N_f) \rightarrow SO(N_f)$$

(modulo grupos discretos). Por favor, véase por ejemplo el siguiente artículo Auzzi, Bolognesi, y Shifman.

El razonamiento es que, dado que el medico adjunto de la representación es real, tiene sólo una copia de $SU(N_f)$ sabor y la simetría $SO(N_f) $ es am subgrupo maximal de a $SU(N_f)$, por lo tanto, cualquier ruptura de la simetría se iniciará en este patrón.

El Bosón de Goldstone colector será:

$$\mathcal{M} = SU(N_f)/SO(N_f)$$

La topología de la Bosón de Goldstone colector determina la existencia de t Hooft-Polyakov los monopolos, ya que no trivial homotopy grupo $\pi_2(\mathcal{M} )$ es necesario para la estabilidad del monopolo solución de existir. Esto sucede en nuestro caso al $N_f =2$, en este:

$$\mathcal{M} = SU(2)/SO(2) = S^2$$

Por lo tanto $\pi_2(\mathcal{M} ) = \mathbb{Z}$ y existen los monopolos.

Además, para cualquier número de sabores habrá Skyrmions en $\mathcal{M}$, como se explica en , Bolognesi, y Shifman del artículo.