¿Por qué son cada una de las estructuras de estudio basado en el número Real?

Question

He estado estudiando los conceptos básicos del producto interior espacio vectorial, normativa espacio vectorial y de espacio métrico. Y todo el interior de los productos, las normas y las métricas definidas para ser real-funciones con valores en mi libro de texto. Yo dudaba acerca de esto: ¿por qué tengo que restringir el estándar para la medición de número real? ¿Por qué no cualquier ordenó campo? ¿Por qué no... ¿algo más?

Sé que puede haber un montón de diferentes maneras de definir "a distancia": estoy estudiando topología, también. Me pregunto si hay alguna definición más general para el interior del espacio del producto, normativa espacio, o espacio métrico(mi definición sólo es el estándar que se imparten en nivel de pregrado: sólo un valor real, como el que he mencionado).

Por ejemplo, supongamos $V$ ser $F$-espacio vectorial y $F_s$ ser ordenada de campo incrustado en $F$. Entonces me definida de la siguiente forma:

1. $\langle v, v\rangle=0$ si y sólo si $v$ es el $0$ vector
2. $\langle v, v\rangle>0$ (por lo que el valor es de $F_s$)
3. $\langle av, u\rangle=\langle v, u\rangle$, donde $a\in F$
4. $\langle v+u, z\rangle=\langle v, z\rangle+\langle u, z\rangle$
5. $\langle v, u\rangle=\langle u, v\rangle$

Podemos definir la normativa espacio vectorial en esta moda. Creo que esta es una definición más general: no pude encontrar nada malo en ello. Quiero decir, si definimos $\|v\|=\langle v, v\rangle^{1/2}$ entonces $(V, \|\,\|)$ se convierte en una normativa espacio vectorial según mi definición, como en el ordinario de la definición (creo que el de Cauchy-Schwarz desigualdad que conecta a los dos espacios, también en la presente definición general: lo he comprobado en la prueba en mi libro de texto y no utilizar la propiedad de los números reales).

Es mi definición no es correcta, o no es útil? Si es así, entonces ¿por qué? Sé que el número real es el único (hasta el isomorfismo) ordenó campo con la menor cota superior de la propiedad y la propiedad de que cada vez más limitada de la secuencia converge. Pero es más que suficiente para justificar que todas las métricas espacios de uso número real? Quiero ser más convencidos, entonces.

Un poco desorganizado, pero yo sólo quería escuchar alguna otra opinión de la gente acerca de esto. Gracias como siempre.

P. S. yo también sé acerca de la complejidad interna del producto de espacio vectorial. El producto interior hay valores complejos, por lo que creo que fue el inicio de mi interrogatorio.

Answer 1

¿por qué tengo que restringir el estándar para la medición de número real? ¿Por qué no cualquier ordenó campo?

Usted puede utilizar cualquier ordenó campo, y los axiomas va a tener sentido. La cosa es, sin embargo, que la mayoría de nuestra intuición geométrica está construido sobre la Archimedian de la propiedad. Pero si se incluye esta en nuestro campo, entonces se convierte en un subcampo $\Bbb R$. En este caso, realmente no somos la restricción de nosotros mismos para $\Bbb R$: es el más grande de Archimdean ordenó campo!

Pensando ordenó campos que no son de Archimedian pone un poco más raro. Está usted preparado, por ejemplo, para que los vectores $v,w$ tales que $v$ y $w$ apuntan en la misma dirección, y sin embargo de $vn$ es menor que $w$ para cada número natural $n$?

Quiero decir, si definimos $\|v\|=\langle v, v\rangle^{1/2}$ entonces $(V, \|\, \|)$ se convierte en una normativa espacio vectorial

No, no es bastante! Normalmente queremos que las normas para estar en el campo base, pero el vector $(1,1)\in \Bbb Q^2$ tendrían una norma fuera de $\Bbb Q$, con esa definición. Para arreglar las cosas, tendría algo que se llama un campo de Pitágoras, y eso es suficiente para garantizar esta definición de la norma de obras.

Si usted no solicita la norma en el campo base, entonces usted no puede ser capaz de llevar a cabo la normalización, porque la división por la norma, no le dan a usted un vector en el campo.

Sé que el número real es el único (hasta el isomorfismo) ordenó campo con la menor cota superior de la propiedad y la propiedad de que cada vez más limitada de la secuencia converge. Pero es más que suficiente para justificar que todas las métricas espacios de uso número real? Quiero ser más convencidos, entonces.

Sí, su intuición es a lo largo de las líneas correctas. El hecho de que $\Bbb R$ es de "máxima" entre Archimedian ordenó campos que la hace especial. Es un buen conectados pieza sin agujeros. En geometría esto es importante, ya que asegura que las líneas y los círculos de la cruz donde los espera. Por ejemplo, en $\Bbb Q^2$, usted puede encontrar un ejemplo de una línea y un círculo que se cruzarían en $\Bbb R^2$, pero que pasan a través de cada uno de los otros en $\Bbb Q^2$ sin tocar.

¿Por qué no... nada más!!

En realidad, los geómetras estudio de las generalizaciones de la norma en el formulario de formas bilineales sobre cualquier campo. La idea es que en lugar de centrarse en la norma, en lugar de centrarse en un (generalizada) producto interior. Ellos pueden ser muy diferentes de lo que estamos acostumbrados con el run-of-the-mill normativa espacios reales. Pueden tener, por ejemplo, distinto de cero con los vectores de longitud $0$ o, incluso, negativa de longitud.

Incluso más que eso, "longitud" pierde sentido totalmente cuando estás trabajando en un campo que no está ordenado: no hay tal cosa como positivo o negativo, no. Aún así, hay una gran teoría para estos tipos de espacios (generalizada) interior de los productos.

Answer 2

Puede definir interior de productos para espacios vectoriales y normativa espacios vectoriales sobre cualquier ordenó campo.

Usted puede definir métricas sobre cualquier ordenó campo: son los llamados generalizada métricas.

Answer 3

No cualquier ordenó campo posee la raíz cuadrada de la operación definida donde $x ≥ 0$; números racionales forman un evidente contra-ejemplo conocido desde la antigüedad. Sí, es esencialmente el mismo problema tan famoso que se enfrentan los Pitagóricos, pero en la formulación moderna: cómo definir el campo de número para hacer que las cosas van bien con la geometría?

Puede haber muchas maneras de modificar la definición de un interior-espacio del producto, en el costo de algunas buenas propiedades (métrica de la integridad, la divisibilidad, la simetría del producto interior... ). Estamos aún no está obligado a calcular la norma en el mismo campo como el campo de tierra de nuestro espacio vectorial; el concepto de valores de campo ofrece la posibilidad de hacerlo de otra manera.

Los números reales son tan populares, no porque ellos de forma "muy correcta", pero debido a su surgen de los requisitos considerados como muy natural en el análisis: el orden, la métrica de la integridad, la divisibilidad. Dondequiera que usted puede sacrificar nada de eso, ustedes son bienvenidos a trabajar sobre otros campos.