Distribución de cargas puntuales en una línea de longitud finita

Question

¿Cómo se $N$ cargas que se mueven libremente confinadas en una línea con longitud $L$ ¿se distribuyen? ¿Cuáles son sus posiciones de equilibrio?

Answer 1

Esta es una respuesta más realista, en contraposición a las matemáticas rebuscadas de la otra. Este problema es fácil de resolver numéricamente. Las ecuaciones son fáciles de enunciar: fuerzas inversas al cuadrado a la derecha de las partículas de la izquierda y a la izquierda de las partículas de la derecha. Así, para un sistema de $n+2$ cargos en los que el primero y el último se fijan en $x=0$ y $x=L$ por fuerzas externas (para evitar que todo el sistema salga despedido), las posiciones $x_1,\ldots,x_n$ de las partículas intermedias obedecen $$ \frac1{x_i^2}+\sum_{j=1}^{i-1}\frac1{(x_i-x_j)^2}-\sum_{j=i+1}^n\frac1{(x_i-x_j)^2}-\frac1{(x_i-L)^2}=0,\ \ i=1,\ldots,n. $$

Esto se puede resolver numéricamente para obtener las posiciones. Este es un gráfico de las posiciones de las partículas para $n$ de 1 a 50:

El código de Mathematica está disponible a petición.

La distribución está relativamente cerca de ser uniforme, pero no es tan exacta. Esto es evidente por el ligero amontonamiento en los extremos, y puede verse más claramente en la densidad de probabilidad para las posiciones a gran $n$ :

Debo señalar que este tipo de distribución es más o menos lo que se espera de los ceros de un polinomio ortogonal de gran orden aunque el caso de Jacobi es incluso más agrupados en los bordes:

(Aunque en realidad los dos histogramas son tan diferentes, y el de Coulomb es tan uniforme, que empiezo a dudar de que exista un modelo electrostático de Calogero para un potencial de interacción de distancia inversa).

Answer 2

Las cargas que se mueven libremente colocadas en una línea tenderán a alejarse unas de otras -sin que sea posible una posición de equilibrio- a menos que haya algún potencial que las confine en una región específica. Obligando a las cargas a estar dentro de un intervalo $[0,L]$ siempre significará que una carga está en cada extremo, por lo que también podría considerar $n-2$ cargas confinadas por el potencial de una carga puntual en cada extremo. Así, su problema se reduce a encontrar los equilibrios estables de $n$ partículas en las posiciones $x_1,\ldots,x_n$ interactuando a través de un potencial de Coulomb $V(x_i,x_j)$ y bajo la acción de un potencial externo $\varphi(x)$ : $$\text{Minimize }\,\,\,\ E(x_1,\ldots,x_n)=\frac12\sum_{i\neq j}V(x_i,x_j)+\sum_i\varphi(x_i) \ \ \text{over}\ \ x_1,\ldots ,x_n.$$

Este problema es muy general y da lugar a una serie de estructuras muy bonitas. En particular, las posiciones de equilibrio del mínimo global de $E$ son muy a menudo los ceros del $n$ miembro de una familia de polinomios ortogonales. La familia de polinomios que aparezca dependerá, por supuesto, de las funciones $V$ y $\varphi$ y de si impone condiciones adicionales a la $x_i$ . Algunos buenos ejemplos son:

• Si $V(x_i,x_j)=-\ln|x_i-x_j|$ y $\varphi(x)=-\frac{\beta+1}2\ln|x+1|-\frac{\alpha+1}2\ln|x-1|$ correspondiente a las interacciones de cargas puntuales en dos dimensiones, confinadas en 1D, bajo la acción de cargas puntuales en $\pm1$ entonces el $x_i$ serán ceros del polinomio de Jacobi $P_n^{(\alpha,\beta)}$ (aunque estos probablemente se reducen a polinomios de Chebyshev de segundo tipo cuando las cargas finales tienen la misma fuerza que las centrales).
• Si $V(x_i,x_j)=-\ln|x_i-x_j|$ y $\varphi(x)=\frac12 x^2$ , entonces se obtienen los polinomios de Hermite.
• Si $V(x_i,x_j)=-\ln|x_i-x_j|$ y $\varphi(x)=x-\frac{\alpha+1}2\ln|x|$ , entonces se obtienen los polinomios de Laguerre.
• Si $V(x_i,x_j)=\frac1{(x_i-x_j)^2}$ y $\varphi(x)=\frac12 x^2$ , entonces también se obtienen polinomios de Hermite.

El resultado más cercano que conozco a lo que preguntas es el primero, pero las interacciones son logarítmicas en lugar de potenciales de Coulomb. Sin embargo, debe quedar claro que para el caso de Coulomb la distribución será no ser uniforme.

No conozco ningún resultado específico que utilice potenciales de distancia inversos (pero si alguien lo sabe, por favor, añádalo). En general, sin embargo, los matemáticos parecen estar interesados en el tipo de problema inverso: dada una secuencia de polinomios ortogonales (definidos por su medida de ortogonalidad, o equivalentemente por sus momentos o los coeficientes de recursión de los polinomios), encontrando el modelo electrostático que satisfacen los ceros del polinomio.

Este trabajo fue iniciado originalmente por Stieltjes, y fue redescubierto por F. Calogero en los años setenta, lo que dio lugar a trabajos modernos sobre el tema. Si quieres leer sobre esto, dos buenas referencias para empezar son

Sobre los ceros de los polinomios clásicos. F. Calogero. Lett. Nuovo Cimento 19 no. 13, serie 2, pp. 505-508 (1977) .

Modelos electrostáticos para ceros de polinomios: Viejos, nuevos y algunos problemas abiertos. F. Marcellán, A. Martínez-Finkelshtein y P. Martínez-González. J. Comp. Appl. Math. 207 no. 2, pp. 258-272 (2007) (Actas de la conferencia en honor del Dr. Nico Temme con motivo de su 65º cumpleaños).

Un modelo electrostático para ceros de polinomios ortogonales generales. Mourad E.H. Ismail. Pac. J. Math. 193 no. 2, pp. 355-369 (2000) , eprint de la Universidad de Tel Aviv .

Answer 3

Este problema ha sido resuelto por Griffiths en

Densidad de carga de una aguja conductora. David J. Griffiths y Ye Li. Am. J. Phys. 64 no. 6 (1996), p. 706 . PDF de colorado.edu .

El problema no es trivial.

Answer 4

Aparte de los casos especiales de $N = 1,2, 3$ En general, la solución será un sistema de ecuaciones simultáneas bastante complicado. No sé si hay alguna manera de no hacer el álgebra en absoluto y simplemente confiar en los argumentos físicos ... pero la solución completa es:

Dejemos que $q = 1, \epsilon_0 = 1, L =1$ es decir, establecer todas las constantes $=1$ para simplificar. Que haya $N$ y que las partículas estén indexadas por $i$ que va desde $0$ a $N-1$ , donde $i$ se ordena de tal manera que describe las partículas que van de izquierda a derecha a lo largo de la línea.

Evidentemente, el $0$ La partícula más grande estará en el extremo izquierdo, la $N-1$ La partícula en el extremo derecho.

Dejemos que $x_i$ = distancia de la $i-1$ a la partícula $i$ de la partícula. Aquí $i$ corre de $1$ a $N-1$ .

Entonces la restricción de longitud es \begin{align} \sum_{i=1}^{N-1} x_i = 1, \end{align} y el $N-2$ las ecuaciones de fuerza son \begin{align} \frac{1}{x_1^2} &= \frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{(x_2+x_3)^2}+\cdots+\frac{1}{(x_2+\cdots+x_{N-1})^2} \nonumber \\ \frac{1}{(x_1+x_2)^2}+\frac{1}{x_2^2}&=\frac{1}{x_3^2}+\frac{1}{(x_3+x_4)^2}+\cdots+\frac{1}{(x_3+\cdots+x_{N-1})^2} \nonumber \\ \frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2}+\frac{1}{x_3^2}&=\frac{1}{x_4^2}+\frac{1}{(x_4+x_5)^2}+\cdots+\frac{1}{(x_4+\cdots+x_{N-1})^2} \nonumber \\ &\vdots \end{align} dando $N-1$ ecuaciones independientes para $N-1$ variables. Resuelve.

El sistema será simétrico respecto al punto medio, por lo que puedes reducir algunas de las ecuaciones, pero no creo que puedas "ver" la solución de buenas a primeras.