Líneas tangentes comunes de dos funciones cuadráticas

Question

Encuentra todas las líneas que son tangentes a las siguientes curvas:

$$y=x^2$$ y $$y=-x^2+2x-2$$

He estado golpeando mi cabeza contra la pared en esto. Utilicé las derivadas y supuse que sus derivadas debían ser iguales en esos puntos de tangencia pero no pude averiguar las ecuaciones. Se agradecerá una explicación.

Answer 1

Aquí tienes una pista sobre un método que evita el cálculo:

La línea $y=ax+b$ es una tangente a una cuadrática como $y=x^2$ si y sólo si la ecuación cuadrática que se obtiene al resolver estas ecuaciones simultáneamente tiene una raíz doble. Esto te dará una ecuación que debe ser satisfecha por las incógnitas $a$ y $b$ .

Puedes hacer lo mismo con la línea $y=ax+b$ y su otra cuadrática, entonces resuelve las dos ecuaciones simultáneas para encontrar $a$ y $b$ .

Answer 2

Si $y=x^2$ tenemos que $\frac {dy}{dx} = 2x$

Esto da el gradiente de la tangente en el punto $(x, y)=(a, a^2)$

Si la línea tangente es $y=mx + c$ Por lo tanto, tenemos $a^2=(2a)\cdot a+c$ de donde $c=-a^2$ y la línea tangente general a $y=x^2$ es $$y=2ax-a^2$$

Si $y=-x^2+2x-2$ tenemos $\frac {dy}{dx} = -2x+2$ para que la línea tangente $y=mx +c$ en $(x, y)=(b, -b^2+2b-2)$ es $-b^2+2b-2=(-2b+2)b+c$ de donde $c=b^2-2$ y la tangente general a la parábola es $$y=(-2b+2)x+b^2-2$$

Si las dos tangentes van a ser la misma línea igualamos los coeficientes para dar: $$a=1-b$$ y $$a^2=2-b^2$$

Answer 3

Línea tangente de la primera ecuación que pasa por algún punto $(x_1,f_1(x_1))$ es $$ y = f_1(x_1) + f'_1(x_1)(x-x_1) = x_1^2 + 2x_1(x-x_1) = 2x_1x-x_1^2 $$ Línea tangente de la segunda ecuación que pasa por algún punto $(x_2, f_2(x_2))$ es $$ y = f_2(x_2) + f'_2(x_2)(x-x_2) = -x_2^2+2x_2-2 + (-2x_2+2)(x-x_2) = 2(1-x_2)x+x_2^2-2 $$ Para que estas dos líneas sean iguales hay que exigir $$ 2x_1 = 2(1-x_2) \\ -x_1^2 = x_2^2-2 $$ Es bastante sencillo de resolver, así que te lo dejo a ti. La solución es $$ k = 1 \pm \sqrt 3 \\ b = -1 \pm \frac {\sqrt 3}2 $$ para la línea $y = kx + b$ .

Answer 4

Dejemos que $f(x) = x^2$ y $g(x) = -x^2 + 2x - 2 \implies \dfrac{d}{dx}(f(x))|_{x = a} = 2a$ y $\dfrac{d}{dx}(g(x))|_{x = b} = -2b + 2$

$2a = -2b + 2 \implies a = 1 - b \implies$

$A: (1 - b, (1 - b)^2), B: (b, -b^2 + 2b - 2) \implies m_{AB} = \dfrac{2b^2 - 4b + 3}{1 - 2b} = -2b + 2 \implies $ $2b^2 - 2b - 1 = 0 \implies b = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Utilizando $b = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} \implies $

$A: (\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2},\dfrac{2 - \sqrt{3}}{2}), B: (\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{3} - 4}{2}) \implies m_{AB} = 1 - \sqrt{3} \implies $ $ \boxed{y = (1 - \sqrt{3})x + \dfrac{\sqrt{3} - 2}{2}} $

Utilizando $b = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2} \implies A^{'}: (\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}, \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}), B^{'}: (\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}, \dfrac{-\sqrt{3} - 4}{2}) \implies$ $m_{A^{'}B^{'}} = 1 + \sqrt{3} \implies \boxed{y = (1 + \sqrt{3})x - \dfrac{\sqrt{3} + 2 }{2}}. $