Mostrando $(1-\frac{1}{n}) - (1-\frac{1}{n})^n$ es un aumento de la secuencia?

Question

He llegado a través de un familiar de matemáticas de la expresión en mi investigación, y quiero formalmente a probar el siguiente.

$s_{n+1} - s_{n} > 0$ posee por entero $n \geq 2$ donde $s_n := (1-\frac{1}{n}) - (1-\frac{1}{n})^n$.

He representado el uso de este software, y parece que es cierto. Pero he estado luchando para demostrar esto. ¿Alguien tiene las pistas?

Gracias.

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Editado: voy a agregar información a aproximadamente un mapa de cómo me ha tratado. Por favor, ver más abajo.

Primero, basado en basic cálculo.

Traté de pensar acerca de las funciones en lugar de secuencias, y muestran que tanto las funciones de aumento, pero el primero a una velocidad mayor. Para elaborar más,

$f(x) := 1 - \frac{1}{x}$ $g(x) := (1 - \frac{1}{x})^x$

Mostrando $f(x)$ es el aumento es fácil. Tomó el derivado de ella, y eso siempre es positivo para todos los $x$. El valor de $f(x)$ $\frac{1}{2}$ y en su vertiente $f'(x)$$\frac{1}{4}$$x=2$.

Lo que queda es mostrar (1) el valor de $g(x)$ es menor o igual a $f(0.5) = 0.5$; (2) la pendiente de $g(x)$ es menor o igual a $f'(0.5) = 0.25$, y (3) la tasa a la que la pendiente aumenta es menor que $f''(x)$. $g(0.5) = 0.25 < f(0.5) = 0.5$ (1) está hecho. Ahora (2) y (3) para ir.

Mostrando $g(x)$ es el aumento es duro. Tomó el logaritmo de ella, y trató de tomar la derivada de ella, pero fue en vano.

Esto es casi tan lejos.

Segundo, basado en la inducción.

Ahora, estoy tratando de probar la solicitud, utilizando el método estándar, pero no tienen ningún progreso real todavía.

Answer 1

Si el cambio de variable a $u=\frac1n$, dejando $n\to\infty$ es lo mismo que dejar a $u\to 0^+$, y $$ (1-\tfrac1n)-(1-\tfrac1n)^n = 1-u - e^{\frac{\log(1-u)}{u}} $$ El exponente $\frac{\log(1-u)}{u}$ tiene una singularidad removible en $u=0$; si sustituimos que (por la división de la expansión de la serie de $\log(1-u)$ $u$ plazo para plazo, vemos que el lado derecho de arriba es agradable y diferenciable en a $u=0$, y ha derivado $\frac1{2e}-1$, que es negativo.

Por lo tanto, como $u$ enfoques $0$ desde arriba, la CARTA de la voluntad, al menos eventualmente, el enfoque de la $1-\frac1e$ de los de abajo.

(En realidad, la representación de la función de la muestra que se mantiene la disminución de $u=[0,\frac12]$, por lo que la secuencia original es creciente desde el principio en $n=2$).

Answer 2

Pensé que podría ser interesante probar esta desigualdad utilizando sólo la Desigualdad de Bernoulli y algunos sencillos de aritmética. Para ello, vamos a proceder.

Deje $s_n=\left(1-\frac1n\right)-\left(1-\frac1n\right)^n$. Luego, el delantero primera diferencia de $s_n$ está dado por

$$s_{n+1}-s_n=\frac{1}{n(n+1)}+\left(\left(1-\frac1n\right)^n-\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}\right) \tag 1$$

Ahora, podemos escribir el segundo término en el lado derecho de la $(1)$

$$\begin{align} \left(1-\frac1n\right)^n-\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}&=\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}\left(\frac{\left(1-\frac1n\right)^n}{\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}}-1\right) \tag 2\\\\ &=\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}\left(\frac{1}{\left(1-\frac1{n+1}\right)}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n-1\right) \tag 3\\\\ &\ge \left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}\left(\frac{1}{\left(1-\frac1{n+1}\right)}\left(1-\frac{1}{n}\right)-1\right) \tag 4\\\\ &=-\frac1{n^2}\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}\tag 5\\\\ &=-\frac{1}{n(n+1)}\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n}\tag 6\\\\ &\ge -\frac{1}{n(n+1)}\tag 7 \end{align}$$

Por lo tanto, tenemos la espera de la desigualdad

$$s_{n+1}-s_n\ge 0$$

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NOTAS:

En llegando a $(2)$, factor que termine el período de $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$.

En lo que va de $(2)$$(3)$, hemos observado que la $\frac{\left(1-\frac1n\right)^n}{\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}}=\frac{1}{\left(1-\frac1{n+1}\right)}\left(1-\frac1{n^2}\right)^n$

En llegando a $(4)$ hemos utilizado la Desigualdad de Bernoulli.

En lo que va de $(4)$ $(5)$hemos simplificado la expresión en gran paréntesis.

En lo que va de $(5)$ $(6)$hemos utilizado la igualdad de $1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

En llegando a $(7)$, hemos observado que la $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}\le 1$