La Desigualdad De Hölder

Question

Me pregunto cómo llegar $$ \frac{a_{1}^{k}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{k}}{b_{2}}+\cdots+\frac{a_{n}^{k}}{b_{n}}\geq\frac{\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right)^{k}}{n^{k-2}\cdot\left(b_{1}+\cdots+b_{n}\right)}. $$ a partir de la desigualdad de Hölder

$$ \sum_{i =1}^{n}a_{i}b_{i}\leq\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i =1}^{n}b_{i}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}. $$

Estaba leyendo a través de AoPS y estoy luchando para ver cómo la primera se obtuvo a partir de la segunda.

Answer 1

Primero aplicamos

$$\sum_{i =1}^{n}x_{i}y_{i}\leq\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i =1}^{n}y_{i}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}$$

con $p=k$, $q=k/(k-1)$, $x_i=a_i/b_i^{1/k}$, $y_i=b_i^{1/k}$ ,

para obtener

$$\sum_i a_i \leq \left(a_i^k/b_i \right)^{1/k} \left( b_i^{1/(k-1)} \right)^{(k-1)/k} \; ,$$

que es equivalente a

$$\left( \sum_i a_i \right)^k \leq \left( \sum_i a_i^k/b_i \right) \left( \sum_i b_i^{1/(k-1)} \right)^{k-1} \; .$$

Por la concavidad de $x \mapsto x^{1/(k-1)}$ (supongo que $k \geq 2$), también tenemos que

$$1/n \sum_i b_i^{1/(k-1)} \leq \left( \sum_i b_i/n \right)^{1/(k-1)}$$

lo que combinado con la anterior desigualdad, da el resultado deseado.