grupo parcialmente ordenado, cono positivo, cociente (ejercicio)

Question

Definiciones: A _grupo parcialmente ordenado_ o po-grupo es un po-set $(G,\leq)$ , de tal manera que $G$ es un grupo y $\forall x,y,a,b\!\in\!G\!:x\!\leq\!y\Rightarrow axb\!\leq\!ayb$ es decir, un po-set que es un grupo en el que las traslaciones a la izquierda y a la derecha son isótonas (= preservan el orden). A grupo dirigido o do-grupo es un po-grupo que es un (arriba y abajo) conjunto dirigido . A grupo ordenado en red o lo-grupo es un po-grupo que es un celosía . A _grupo totalmente ordenado_ o a-grupo es un po-grupo que es un conjunto totalmente ordenado. El cono (positivo) de $G$ es $G_{\geq1}\!=\!G_+\!:=\!\{g\!\in\!G;\, g\!\geq\!1\}$ .

Para un grupo $G$ y subconjuntos $A,B\!\subseteq\!G$ , dejemos que $\langle A\rangle$ denota el subgrupo generado por $A$ y que $AB\!=\!\{ab; a\!\in\!A,b\!\in\!B\}$ y $A^{-1}\!=\!\{a^{-1}; a\!\in\!A\}$ .

Teorema (correspondencia orden/cono para grupos) [Steinberg: Anillos ordenados en celosía y Módulos p.34-35; Blyth: Entramados y ordenados Estructuras algebraicas p.144-145] : Dejemos que $G$ sea un grupo y $P\!\subseteq\!G$ un subconjunto. Consideremos las siguientes condiciones sobre $P$ : $$\text{(i) } PP\!\subseteq\!P; \hspace{3mm} \text{(ii) } \forall g\!\in\!G\!: gPg^{-1}\!\subseteq\!P; \hspace{3mm} \text{(iii) } P\!\cap\!P^{-1}\!=\!\{1\}; \hspace{3mm} \text{(iv) } PP^{-1}\!=\!G; \hspace{3mm} \text{(v) } P\!\cup\!P^{-1}\!=\!G.$$

a) Definir la relación $x\leq_P\,y\Leftrightarrow x^{-1}y\!\in\!P$ en $G$ . Llame a $P$ a po-cono / do-cone / lo-cone / a-cono en $G$ cuando (i)-(iii) se mantienen / (i)-(iii),(iv) se mantienen / (i)-(iii),(iv) se mantienen y $(P,\leq_P\!)$ es una red / (i)-(iii),(v) se cumplen. Entonces los mapas $\begin{smallmatrix} \scriptstyle\leq &\!\scriptstyle \mapsto \! &\scriptstyle G_{\geq1}\\ \scriptstyle\leq_P &\!\scriptstyle \leftarrow\! &\scriptstyle P \end{smallmatrix}$ son biyecciones mutuamente inversas en los siguientes pares de conjuntos: $$\begin{array}{r @{\hspace{1mm}} c @{\hspace{1mm}} l} \{\leq\subseteq\!G^2; \text{ the pair }(G,\leq)\text{ is a po-group}\} & \rightleftarrows & \{P\!\subseteq\!G; \text{ the subset }P\text{ is a po-cone on }G\}\\ \bigcup\!\mathbf{|}\hspace{2.6cm} & & \hspace{0.0cm}\bigcup\!\mathbf{|}\\ \{\leq\subseteq\!G^2; \text{ the pair }(G,\leq)\text{ is a do-group}\} & \rightleftarrows & \{P\!\subseteq\!G; \text{ the subset }P\text{ is a do-cone on }G\}\\ \bigcup\!\mathbf{|}\hspace{2.6cm} & & \hspace{0.0cm}\bigcup\!\mathbf{|}\\ \{\leq\subseteq\!G^2; \text{ the pair }(G,\leq)\text{ is a lo-group}\} & \rightleftarrows & \{P\!\subseteq\!G; \text{ the subset }P\text{ is a lo-cone on }G\}\\ \bigcup\!\mathbf{|}\hspace{2.6cm} & & \hspace{0.0cm}\bigcup\!\mathbf{|}\\ \{\leq\subseteq\!G^2; \text{ the pair }(G,\leq)\text{ is a to-group}\} & \rightleftarrows & \{P\!\subseteq\!G; \text{ the subset }P\text{ is a to-cone on }G\}. \end{array}$$

b) Dejemos que $(G,\leq)$ sea un po-grupo con $P\!=\!G_{\geq1}$ . T.f.a.e.: $(G,\leq)$ es un grupo de trabajo; $(G,\leq)$ se dirige hacia arriba; $(G,\leq)$ se dirige hacia abajo; $\langle P\rangle \!=\!G$ . T.f.a.e.: $(G,\leq)$ es un lo-grupo; $\forall g\!\in\!G\,\exists g\!\wedge\!1 \in G$ ; $\forall g\!\in\!G\,\exists g\!\vee\!1 \in G$ .

Ejercicio: Dejemos que $G$ sea un grupo con $H\!\unlhd\!G$ y supongamos que $H$ y $G/H$ son po-grupos. Demostrar que $$P:=H_+\cup\{g\!\in\!G;\, H\!\neq\!gH\!\in\!(G/H)_+\}$$ es un po-cono en $G$ si $\forall g\!\in\!G\!: gH_+g^{-1}\!\subseteq\!H_+$ . A partir de ahora, asuma que $P$ es un po-cono en $G$ y $H,G/H$ tienen po-cones $H_+,(G/H)_+$ . Prueba: a) $H$ es convexo en $G$ [y $P$ induce $H_+,(G/H)_+$ ]. b) $H\!<\!P\!\setminus\!H$ . c) $G$ es un to-grupo si $H$ y $G/H$ son grupos de trabajo. d) Si $H\!\neq\!\{1\}$ entonces $G$ es un lo-grupo si ( $H$ es un lo-[sub]grupo y $G/H$ es un to-grupo). e) Si $G$ es un lo-grupo, entonces la inclusión $H\!\rightarrow\!G$ es un morfismo completo de la red.

Comentario: He añadido las partes [...] (no formaban parte originalmente del ejercicio).

Solución parcial: $(\Rightarrow)$ : Si $P$ es un po-cono, entonces $\forall g\!\in\!G\!: gPg^{-1}\!\subseteq\!P$ Así pues, para $h\!\in\!H_+$ tenemos $ghg^{-1}\!\in\!P$ . Desde $H\!\unlhd\!G$ obtenemos $ghg^{-1}\!\in\!H$ , por lo que no podemos tener $H\!\neq\!ghg^{-1}H\!\in\!(G/H)_+$ Por lo tanto $ghg^{-1}\!\in\!H_+$ . $(\Leftarrow)$ : (i): Si $h,h'\!\in\!H_+$ entonces $hh'\!\in\!H_+$ . Si $h\!\in\!H_+$ y $H\!\neq\!gH\!\in\!(G/H)_+$ entonces $H\!\neq\!hgH\!\in\!(G/H)_+$ (si $hg\!\in\!H$ entonces $h^{-1}hg\!=\!g\!\in\!H$ , $\rightarrow\leftarrow$ ya que $gH\!\in\!(G/H)_+$ y $hH\!=\!1H\!\in\!(G/H)_+$ tenemos $hHgH\!=\!hgH\!\in\!(G/H)_+$ ), y de forma similar, $H\!\neq\!ghH\!\in\!(G/H)_+$ . Si $H\!\neq\!gH\!\in\!(G/H)_+$ y $H\!\neq\!g'H\!\in\!(G/H)_+$ entonces $gg'H\!=\!gHg'H\!\in\!(G/H)_+$ y si $gg'\!\in\!H$ (ii): La persona que se encuentra en el centro de la ciudad. (ii): Por suposición, $gH_+g^{-1}\!\subseteq\!H_+$ . Además, si $H\!\neq\!g'H\!\in\!(G/H)_+$ entonces $H\!\neq\!gg'g^{-1}H$ (ya que $H\!\unlhd\!G$ ) y $gg'g^{-1}H\!=\!gH(g'H)g^{-1}H\!\in\!(G/H)_+$ . Así, $gPg^{-1}\!\subseteq\!P$ . (iii): Supongamos que $g,g^{-1}\!\in\!P$ . Si $g,g^{-1}\!\in\!H_+$ entonces $g\!=\!1$ . Si $g\!\in\!H_+$ y $H\!\neq\!g^{-1}H\!\in\!(G/H)_+$ entonces $g^{-1}\!\in\!H$ , $\rightarrow\leftarrow$ . Si $H\!\neq\!gH\!\in\!(G/H)_+$ y $H\!\neq\!g^{-1}H\!\in\!(G/H)_+$ entonces $gH\!\in\!(G/H)_+\!\cap\!(G/H)_+^{-1}$ Así que $gH\!=\!H$ , $\rightarrow\leftarrow$ .

a) Si $h\!\leq\!g\!\leq\!h'$ y $h,h'\!\in\!H$ entonces $h^{-1}g, g^{-1}h'\!\in\!P$ . Si $h^{-1}g\!\in\!H_+$ o $g^{-1}h'\!\in\!H_+$ entonces $g\!\in\!H$ . Pero si $h^{-1}gH\!\in\!(G/H)_+$ y $g^{-1}h'H\!\in\!(G/H)_+$ entonces $gH\!=\!hHh^{-1}gH\!\in\!(G/H)_+$ y $g^{-1}H\!=\!g^{-1}h'Hh'^{-1}H\!\in\!(G/H)_+$ es decir $gH\!\in\!(G/H)_+\!\cap\!(G/H)_+^{-1}$ , lo que implica $gH\!=\!H$ es decir $g\!\in\!H$ .

Si $h,h'\!\in\!H$ entonces $h\!\leq_{H_+}\!h' \Leftrightarrow h^{-1}h'\!\in\!H_+ \Leftrightarrow h^{-1}h'\!\in\!P \Leftrightarrow h\!\leq_{P}\!h'$ . Si $gH,g'H\!\in\!G/H$ entonces $gH\!\leq_{\!(G/H)_+}\!\!g'H \Leftrightarrow g^{-1}g'H\!\in\!(G/H)_+ \Leftrightarrow \big((\exists h\!\in\!H\!:g^{-1}g'h\!\in\!H_+)\text{ or }(H\!\neq\!g^{-1}g'H\!\in\!(G/H)_+)\big) \Leftrightarrow \exists h\!\in\!H\!:\big(g^{-1}g'h\!\in\!H_+\text{ or }H\!\neq\!g^{-1}g'hH\!\in\!(G/H)_+)\big) \Leftrightarrow \exists h\!\in\!H\!: g\!\leq_P\!g'h$ . En la segunda equivalencia, $\Leftarrow$ está claro, pero para $\Rightarrow$ , ya sea $g^{-1}g'H\!\neq\!H$ o $g^{-1}g'\!=\!h^{-1}$ para algunos $h\!\in\!H$ y luego $g^{-1}g'h\!=\!1\!\in\!H_+$ .

b) Dejemos que $h\!\in\!H$ y $H\!\neq\!gH\!\in\!(G/H)_+$ . Para demostrar $h\!<\!g$ debemos demostrar que $h^{-1}g\!\in\!P$ . Tenemos $h^{-1}gH\!=\!gH\!\neq\!H$ y $h^{-1}gH\!=\!gH\!\in\!(G/H)_+$ .

c) $(\Rightarrow)$ : Supongamos que $P\!\cup\!P^{-1}\!=\!G$ . Para cualquier $h\!\in\!H$ , ya sea $h\!\in\!P$ o $h^{-1}\!\in\!P$ pero como $H\!=\!hH\!=\!h^{-1}H$ , ya sea $h\!\in\!H_+$ o $h^{-1}\!\in\!H_+$ es decir $h\!\in\!H_+\!\cup\!H_+^{-1}$ . Para cualquier $gH\!\in\!G/H$ , ya sea $g\!\in\!P$ o $g^{-1}\!\in\!P$ . Si $g\!\in\!H_+$ o $g^{-1}\!\in\!H_+$ entonces $gH\!=\!H\!\in\!(G/H)_+$ o $g^{-1}H\!=\!H\!\in\!(G/H)_+$ . De lo contrario, $gH\!\in\!(G/H)_+$ o $g^{-1}H\!\in\!(G/H)_+$ . $(\Leftarrow)$ : Supongamos que $H_+\!\cup\!H_+^{-1}\!=\!H$ y $(G/H)_+\!\cup\!(G/H)_+^{-1}\!=\!G/H$ . Para cualquier $g\!\in\!G$ , ya sea $g\!\in\!H$ (entonces $g\!\in\!H_+\!\cup\!H_+^{-1}\!\subseteq\!P\!\cup\!P^{-1}$ ) o $gH\!\neq\!H$ (entonces $g^{-1}H\!\neq\!H$ y, o bien $gH\!\in\!(G/H)_+$ o $g^{-1}H\!\in\!(G/H)_+$ ), por lo que $g\!\in\!P$ o $g^{-1}\!\in\!P$ .

d) $(\Rightarrow)$ : Dejemos que $G$ sea un lo-grupo. Si $h\!\in\!H$ entonces $\exists h\!\vee_P\!1\!=:\!g\!\in\!P$ y el de la derecha, así que $g\!\in\!H$ Por lo tanto $g\!=\!h\!\vee_{H_+}\!1$ . $(\Leftarrow)$ : Dejemos que $H$ sea un lo-grupo y $G/H$ a to-grupo. Basta con demostrar que $\forall g\!\in\!G\!\setminus\!H\!: \exists g\!\vee_P\!1$ . Tenemos $gH\!\in\!(G/H)_+$ o $g^{-1}H\!\in\!(G/H)_+$ es decir $hg\!\in\!P$ o $g^{-1}h\!\in\!P$ para algunos $h\!\in\!H$ . ???

e) Debemos demostrar que $\exists\inf_H\{h_i; i\!\in\!I\}\!=:\!h_0\Rightarrow \inf_G\{h_i; i\!\in\!I\}\!=\!h_0$ y $\exists\sup_H\{h_i; i\!\in\!I\}\!=:\!h_1\Rightarrow \sup_G\{h_i; i\!\in\!I\}\!=\!h_1$ . Si $\exists g\!\in\!G\!\setminus\!H\!: g\!\leq\!\{h_i; i\!\in\!I\}$ Entonces, ¿se puede decir que el sistema de seguridad es el más adecuado? $g\!\leq\!h_0$ .

Pregunta: ¿Cómo puedo terminar las partes '???'? Estoy atascado en $PP\!\subseteq\!P$ d), e).

Answer 1

Para el primer hueco: si $gg'\in H$ entonces $g'\in g^{-1}H$ Así que $g'H=(gH)^{-1}$ , $g'H\in(G/H)_+\cap\big((G/H)_+\big)^{-1}$ y por lo tanto $g'H=H$ , $\to\leftarrow$ .

(d) Dejemos que $\pi:G\to G/H:g\mapsto gH$ . Para $g,g'\in G$ , $g\le_G g'$ si $g^{-1}g'\in P$ que este es el caso si

• $\pi(g)<_{G/H}\pi(g')$ o
• $\pi(g)=\pi(g')$ y $1\le_H g^{-1}g'$ .

Tenga en cuenta, en particular, que si $g,g'\in H$ entonces $g\le_G g'$ si $g\le_H g'$ .

Supongamos que $G/H$ es un grupo-to, y dejemos que $g\in G$ . Entonces se cumple exactamente una de las siguientes condiciones: $\pi(g)=\pi(1)$ , $\pi(g)<_{G/H}\pi(1)$ o $\pi(g)>_{G/H}\pi(1)$ . Si $\pi(g)>_{G/H}\pi(1)$ entonces $g>_G 1$ y $g\lor_G 1=g$ . Si $\pi(g)<_{G/H}\pi(1)$ entonces $g<_G 1$ y $g\lor_G 1=1$ . Y si $\pi(g)=\pi(1)$ entonces $g\in H$ .

Ahora mostraremos que $G$ es un lo-grupo si $H$ es un lo-grupo. Supongamos primero que $H$ es un lo-grupo, y sea $g\in G$ . Acabamos de ver que si $g\notin H$ entonces $g\lor_G 1$ existe y es $g$ o $1$ Así pues, supongamos ahora que $g\in H$ y que $u=g\lor_H 1$ . Entonces, si $g'\in G$ es cualquier límite superior para $g$ y $1$ en $G$ , ya sea $\pi(g')>_{G/H}\pi(1)$ , en cuyo caso $u<_G g'$ o $g'\in H$ , en cuyo caso $u\le_G g'$ Así que $u=g\lor_G 1$ .

Supongamos ahora que $H$ no es un lo-grupo, y dejemos que $h\in H$ sea tal que $h$ y $1$ no tienen supremacía en $H$ ; afirmo que $h$ y $1$ no puede tener supremacía en $G$ tampoco. Esto está claro si hay una $u\in H$ tal que $h,1\le_H u$ : si $g$ es cualquier límite superior de $h$ y $1$ en $G\setminus H$ , $u<_G g$ Así que $g\ne h\lor_G 1$ . Por lo tanto, podemos suponer que $\{h,1\}$ no tiene límite superior en $H$ . Supongamos que $g$ es un límite superior para $\{h,1\}$ en $G$ claramente $\pi(g)>_{G/H}\pi(1)$ . Si $H_+\ne\{1\}$ , elija $p\in H_+\setminus\{1\}$ Entonces $h,1<_G gp^{-1}<_G g$ Así que $g\ne h\lor_G 1$ . La única posibilidad que queda es que $H_+=\{1\}$ . En ese caso $\pi(gh)=\pi(g)$ Así que $gh$ es un límite superior para $\{h,1\}$ . Sin embargo, está claro que $h\ne 1$ Así que $g^{-1}(gh)=h\notin P$ , $g\not\le_G gh$ y $g\ne h\lor_G 1$ . Así, $h$ y $1$ no tienen supremacía en $G$ y $G$ no es un lo-grupo.

Para completar la prueba de (d) debemos demostrar que si $G/H$ no es un grupo-to, entonces $G$ no es un lo-grupo. Supongamos, entonces, que $G$ no es un grupo to; entonces hay un $g\in G$ tal que $\pi(g)\not\le_{G/H}\pi(1)\not\le_{G/H}\pi(g)$ . Supongamos que $u$ un límite superior para $\{g,1\}$ en $G$ Entonces $\pi(u)>_{G/H}\pi(g),\pi(1)$ . Como antes, si $H$ tiene un elemento estrictamente positivo $p$ entonces $up^{-1}$ es un límite superior para $\{g,1\}$ estrictamente menor que $u$ . Si $H_+=\{1\}$ , dejemos que $h\in H\setminus\{1\}$ y observa que $uh$ es un límite superior para $\{g,1\}$ tal que $u\not\le_G uh$ . En cualquier caso $u\ne g\lor_G 1$ y $G$ no es un lo-grupo.

(e) Recordemos de (d) que si $g,g'\in H$ entonces $g\le_G g'$ si $g\le_H g'$ .

Answer 2

Esto es sólo una solución a (d) y (e) que entiendo más fácil, pero debido a Brian M. Scott. Es demasiado largo para un comentario.

d) Dejemos que $\pi:G\!\rightarrow\!G/H$ , $g\!\mapsto\!gH$ . Para $g,g'\!\in\!G$ tenemos $g\!\leq_G\!g'$ si $g^{-1}g'\!\in\!P$ si $\pi(g)\!<_{G/H}\!\pi(g')$ o ( $\pi(g)\!=\!\pi(g')$ y $1\!\leq_H\!g^{-1}g'$ ).

$(\Leftarrow)$ : Supongamos que $G/H$ es un grupo to. Para $g\!\in\!G$ , se cumple exactamente una de las siguientes condiciones: $\pi(g)\!=\!\pi(1)$ , $\pi(g)\!<_{G/H}\!\pi(1)$ , $\pi(g)\!>_{G/H}\!\pi(1)$ . En el primer caso, $g\!\in\!H$ . En el segundo, $g\!<_G\!1$ Por lo tanto $g\!\vee_G\!1\!=\!1$ . En el tercero, $g\!>_G\!1$ Por lo tanto $g\!\vee_G\!1\!=\!g$ . Por lo tanto, si $g\!\notin\!H$ entonces $\exists\,g\!\vee_G\!1$ . Pero si $g\!\in\!H$ , dejemos que $s\!:=\!g\!\vee_H\!1$ Así que $\pi(s)\!=\!\pi(1)$ . Para cualquier $g'\!\in\!G$ con $g,1\!\leq\!g'$ , ya sea $\pi(1)\!<_{G/H}\!\pi(g')$ (entonces $s\!<_G\!g'$ ), o $g'\!\in\!H$ (entonces $s\!\leq\!g'$ ). Así, $s\!=\!g\!\vee_G\!1$ . Hemos demostrado que $g\!\vee_G\!1$ siempre existe, así que por el teorema de la correspondencia, $G$ es un lo-grupo.

$(\Rightarrow)$ : Supongamos que $G$ es un lo-grupo, pero $H$ no lo es, es decir $\exists h\!\in\!H\!:\nexists\,h\!\vee_H\!1$ . Toma $s\!:=\!h\!\vee_G\!1$ . Vemos que $s\!\in\!G\!\setminus\!H$ . Por a), tenemos $H\!<\!s$ Así que $H\!<\!Hs$ . Si $H_+\!\neq\!\{1\}$ , elija $p\!\in\!H_+\!\setminus\!\{1\}$ y luego $h,1\!<\!p^{-1}\!s\!<\!s$ , una contradicción con la minimidad de $s$ . Pero si $H_+\!=\!\{1\}$ entonces $h,1\!\leq\!hs$ da (por la minimidad de $s$ ) $s\!\leq\!hs$ es decir $h\!\in\!H_+$ Así que $h\!=\!1$ una contradicción.

Supongamos ahora que $G$ es un lo-grupo, pero $G/H$ no es un grupo to, es decir $\exists g\!: \pi(g)\!\nleq_{G/H}\!\pi(1)\!\nleq_{G/H}\!\pi(g)$ . Toma $s\!:=\!g\!\vee_G\!1$ . Entonces $\forall h\!\in\!H\!:\pi(g),\pi(1)<_{G/H}\pi(s)=\pi(hs)$ . Si $H_+\!\neq\!\{1\}$ , elija $p\!\in\!H_+\!\setminus\!\{1\}$ y luego $g,1 < p^{-1}u < u$ una contradicción. Si $H_+\!=\!\{1\}$ , dejemos que $h\!\in\!H\!\setminus\!\{1\}$ y luego $g,1\!\leq\!hs$ Así que $s\!\leq\!hs$ es decir $h\!\in\!H_+$ una contradicción.

e) Debemos demostrar que $\exists\sup_H\{h_i;i\!\in\!I\}$ implica $\sup_H\{h_i;i\!\in\!I\}\!=\!\sup_G\{h_i;i\!\in\!I\}$ y que $\exists\inf_H\{h_i;i\!\in\!I\}$ implica $\inf_H\{h_i;i\!\in\!I\}\!=\!\inf_G\{h_i;i\!\in\!I\}$ . Por d), $H$ es un lo-grupo y $G/H$ es un to-grupo. Utilizamos el criterio de d). Supongamos que $s\!:=\!\sup_H\{h_i\}\!\in\!H$ existe. Para cualquier $g\!\in\!G$ con $\{h_i\}\!\leq\!g$ , ya sea $\pi(s)\!=\!\pi(h_i)\!=\!\pi(g)$ (entonces $g\!\in\!H$ Así que $s\!\leq\!g$ ), o $\pi(s)\!=\!\pi(h_i)\!<\!\pi(g)$ (entonces $s\!<\!g$ ). Así, $s\!=\!\sup_G\{h_i\}$ . La igualdad para los mínimos se demuestra de forma análoga. $\blacksquare$