Aproximación de la exponencial

Question

Dejemos que $c>1,k\in\mathbb{N}$ .

Consideremos dos aproximaciones de la función exponencial :

La primera es la más común $f_k(x)=\left(1+\frac{x}{c^k}\right)^{c^k}$

y el segundo es $q_k(x)=\displaystyle\sum _{p=0}^k\frac{c^{\frac{p^2+p}{2}}}{\displaystyle\prod _{n=1}^p(c^n-1)\prod_{n=1}^{k-p}(1-c^n)}f_p\left(x\right)$ .

Se ha demostrado que aquí que $q_k(x)$ va a $e^x$ como $c\to\infty$ o $k\to\infty$ .

En la siguiente pregunta, nos quedaremos con los fijos $c,k$

Sin embargo, después de experimentando un poco en desmos He conjeturado algunos resultados que no soy capaz de demostrar matemáticamente, y por lo tanto tengo algunas preguntas:

Se puede ver (en el gráfico de desmos) que existe un intervalo no vacío $I$ alrededor de $0$ en el que $q_k(x)$ es una mejor aproximación de $e^x$ que $f_k(x)$ (con esto quiero decir que $\forall x\in I,|q_k(x)-e^x|\le|f_k(x)-e^x|$ ). Como $c$ o $k$ este intervalo se hace cada vez más grande.

• ¿Cómo se puede demostrar que ese intervalo existe?

• ¿Cuáles son los límites de este intervalo?

• Me parece que en este intervalo, $q_k(x)$ se "pega" a $e^x$ más cerca que $f_k(x)$ lo hace. Conjeturo que $\forall\epsilon,c>0,\exists k\in\mathbb{N},\forall x\in[-c,c],\left|\dfrac{q_k(x)-e^x}{f_k(x)-e^x}\right|<\epsilon$ . ¿Cómo se puede demostrar eso?

Answer 1

Bien, ha observado que las dos funciones funcionan mejor cuando $c\to\infty$ o $k\to\infty$ . Así que, obviamente, como $c,k$ aumenta, las aproximaciones mejoran. En cambio, parece que $c,k$ puede ser pequeño siempre que $x$ es pequeño. Como $c,k$ aumenta, el rango de valores $x$ puede tomar y aún así ser razonablemente preciso aumenta. Esto es cierto con la mayoría de las aproximaciones.

Tenga en cuenta también que su $f_k(x)$ es una aproximación realmente mala si $k$ es pequeño. Para que esa función se acerque a $e^x$ , $k$ tiene que ser arbitrariamente grande.

$c$ por otro lado, puede ser algo menor porque $g_c(x)$ es una mejor aproximación. Simplemente lo es.

De hecho, se prueba $\lim_{k\to\infty}f_k(x)=e^x$ utilizando el cálculo. Pero introduciendo cualquier otro número finito en for $k$ produce funciones exponenciales que son obviamente erróneas.

En general, no se utiliza $f_k(x)$ porque las aproximaciones como $g_c(x)$ son mucho mejores.

Sin embargo, no tengo respuesta para los límites exactos de este intervalo.