La probabilidad de 20 consecutivo éxito en más de 100 pistas.

Question

Supongamos que un jugador de ajedrez tiene una tasa de ganancia igual a 90%, ¿cuál es la probabilidad de tener 20 consecutivos de victorias (éxitos) jugar 100 juegos? Considerar que perder/dibujar = fail.

He estudiado estadística básica en la universidad y parece que es una distribución binomial problema (¿verdad?), pero sinceramente yo no puedo averiguar una manera de resolver este problema considerando "consecutivos" éxitos.

Hay una distribución estadística para esta clase de problema?

Muchas gracias! Realmente aprecio todos los pensamientos!

Answer 1

Feller tiene todo esto trabajado en la p. 325 de Una Introducción a la Teoría de la Probabilidad y Sus Aplicaciones, 3ª Edición, la ecuación 7.11: $$q_n \sim \frac{1-px}{(r+1-rx)q} \cdot \frac{1}{x^{n+1}}$$ donde $q_n$ es la probabilidad de no éxito de la ejecución de la longitud de la $r$ $n$ ensayos, $p$ es la probabilidad de éxito, $q=1-p$, e $x$ es la raíz de cerca de 1 de

$$1-x + q p^r x^{r+1} = 0$$

Con sus datos, nos encontramos con $x \approx 1.017502$$q_{100} \approx 0.2247$.

Así que la probabilidad de que el jugador de ajedrez tendrá al menos una carrera de 20 éxitos es $0.7753$, aproximadamente.

Answer 2

A pesar de este balance no puede ser hecho fácilmente, pero creo que esta va a ser la fórmula exacta para calcular esta probabilidad. Creo que de $20$ éxitos juntos como un solo evento. Ahora hay total $80$ + $1$ ranura ( estoy pensando en $20$ como un solo evento). Ahora los eventos en los que hay al menos un $20$ jefes son necesarios para tener $20$ consecutivos succesess.

Supongamos que hay $x$ cabezas en total, $(x \ge 20)$ fuera de estos, estamos considerando la posibilidad de $20$ $1$ gran evento de modo que la probabilidad de tener $20$ consecutivos éxitos $$\binom{81}{x-20+1}p^x(1-p)^{100-x}$$

So our required probability with $p = 0.9$ will be

$$\sum_{x =20}^{100}\binom{81}{x-19}0.9^x\cdot0.1^{100-x}$$

Although this is a nasty summation but I think this is the exact method to find this probability.

Note: I have written it just for the sake of completeness. For computing, method given by @awkward is better.

Here is some R code for simulating this problem. Running the simulation for $10000$ times and setting seed (1236) we get probability $0.7729$

# Generating a single run and counting 
# if there are 20 consecutive succeses 

consecutiveSuccess <- function(p, count, n) {
    trials <- rbinom(n, 1, p)
    for (i in 1:(n-count+1)) {
        if (sum(trials[i:(i+count-1)]) == count)
            return(1)
    }
    return(0)
}

# simulation starts here
set.seed(1236)
t = 10000
p = 0.9
count = 20
n = 100

sum = 0
for (j in 1:t) {
    sum = sum + consecutiveSuccess(p, count, n)
}

prob <- (sum*1.0)/t

Answer 3

La probabilidad de contraer $20$ triunfos consecutivos es:

$$0.9^{20}$$

La primera victoria de estos triunfos consecutivos pueden ser en cualquier juicio de$1$$80$, y la probabilidad de que cualquier en cualquier de estos ensayos está distribuida de manera uniforme, por lo que la probabilidad de contraer $20$ victorias consecutivas fuera de $100$ es:

$$\frac{80}{100}*0.9^{20}$$

Una generalización de esta fórmula sería:

$$\frac{n-k}{n}p^k$$

Donde $p$ es la probabilidad de que, $n$ es el número de ensayos, y $k$ es el número de victorias consecutivas.