Técnicas para mostrar un ideal en $k[x_1,\ldots,x_n]$ es el prime

Question

Una variedad afín $X$ sobre un campo $k$ es irreducible si y sólo si su definición de ideal $I(X)$ es primo (en este post vamos a utilizar la convención de que las variedades no son necesariamente irreducible). Por lo tanto, es útil ser capaz de determinar si es o no un determinado ideal de $I\subset k[x_1,\ldots,x_n]$ es primo.

Supongamos que explícitamente pueden escribir todas las ecuaciones de definición de $X$$X=Z(f_1,\ldots,f_m)=Z(J)$, por lo que el $I(X)=\sqrt J$. Estoy interesado en el aprendizaje de las diferentes técnicas para la determinación de si $I(X)$ es primo, o, equivalentemente, si $X$ es irreductible. Yo también estoy interesado en diferentes condiciones suficientes en el$f_i$, lo que implica que $I(X)$ es primo, por lo que el problema se reduce a la comprobación de algo acerca de la $f_i$. Si es posible, las referencias a la literatura sería genial. Aquí están algunas de las primeras técnicas de las que ya estoy en cuenta:

• Mostrar que si $ab\in I$, entonces cualquiera de las $a\in I$ o $b\in I$. Esto es sólo la definición de un primer ideal, pero tal vez podemos reducir la lista de pares $(a,b)$ debemos comprobar que algunos finito lista que implican la $f_i$ y sus divisores.
• El uso de un sistema algebraico por computadora, tales como Magma o la BRECHA. Esto es problemático ya $m$ $n$ crecer.
• La construcción de un surjective de morfismos de variedades de $\varphi:Y\to X$ tal que $Y$ es irreductible.

¿De qué otra manera podríamos mostrar que $I(X)$ es primo?

Answer 1

Usted podría tomar el cociente por I(X) y ver si se le da un integrante de dominio.

Answer 2

La localización es una herramienta poderosa cuando se trata de probar un ideal es principal. Es decir, si $x \in R$ es un divisor distinto de cero, a continuación, $R$ es una parte integral de dominio si y sólo si $R_x$ es una parte integral de dominio, donde $R_x$ es la localización de $R$ con respecto al $\{1, x, x^2, \dots\}$. Por ser capaz de asumir las $x$ es invertible, a menudo se pueden simplificar las relaciones de definir el cociente.

La interacción de la dimensión de la teoría con las propiedades de los anillos tales como completar la intersección y Cohen-Macaulay también son importantes. Por ejemplo, en un local CM anillo, una secuencia $\{a_1, \dots, a_n\}$ es una secuencia regular si y sólo si $\dim R/(a_1, \dots a_i) = \dim R - i$. Esto reduce la comprobación de si ciertos cocientes son parte integral de la dimensión de conteo. Cohen-Macaulay puede ser difícil comprobación, a menos que usted tiene un completo intersección en cuyo caso es automático.